等角写像で格子が曲がる
正則関数 w = f(z) は直交する格子を曲げますが、交わる線どうしの角度は保たれます（等角性）。左の格子を写像し、交差角を測って確かめます。
0.50
1.6
0.70
0.60
交差角（写像前 z）
—
交差角（写像後 w）
—
局所拡大率 |f′(z₀)|
—
局所回転 arg f′(z₀)
—
z 平面（直交格子）
w = f(z) 平面（曲がった像）
複素関数 w = f(z) が微分可能（正則）であれば、その写像は 等角写像 になります。
等角とは「角度を保つ」という意味です。z 平面で直交していた縦線と横線は、w 平面では曲線に化けますが、交わる点での接線どうしの角度はもとのまま（90°なら 90°）に保たれます。
その理由は、点 z₀ のごく近くで写像が「|f′(z₀)| 倍の拡大」と「arg f′(z₀) の回転」の組み合わせ（＝相似変換）にしか見えないからです。すべての向きが同じだけ回転するので、相対角度は変わりません（ただし f′(z₀)=0 の点を除く）。
写像を切り替え、注目点を動かして、左右の交差角がいつも一致することを確かめましょう。
等角とは「角度を保つ」という意味です。z 平面で直交していた縦線と横線は、w 平面では曲線に化けますが、交わる点での接線どうしの角度はもとのまま（90°なら 90°）に保たれます。
その理由は、点 z₀ のごく近くで写像が「|f′(z₀)| 倍の拡大」と「arg f′(z₀) の回転」の組み合わせ（＝相似変換）にしか見えないからです。すべての向きが同じだけ回転するので、相対角度は変わりません（ただし f′(z₀)=0 の点を除く）。
写像を切り替え、注目点を動かして、左右の交差角がいつも一致することを確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 正則関数 = 等角写像 ── 格子は曲がるが、交わる線の角度は保たれる。
- 局所的には w − w₀ ≈ f′(z₀)(z − z₀)、つまり「拡大 |f′| ＋ 回転 arg f′」の相似変換だけ。すべての方向が同じだけ回るので相対角度が不変。
- 拡大率 |f′(z₀)| は場所で変わる ── 像の格子マスは場所ごとに大きさ（と向き）が変わる。
- f′(z₀)=0 の臨界点では等角性が壊れる（角度が n 倍になる）。z² では原点、sin z では z=±π/2 などが該当。