領域彩色で複素関数を見る
複素関数 f(z) を一枚絵に。各点の色相が偏角 arg f(z)、明暗が大きさ |f(z)| を表します。零点と極をドラッグして色の風車を動かしましょう。
関数の形（零点○と極×を配置）
2.50
3
使い方
絵の上の ○（零点）や ×（極）をドラッグすると、 関数が変わり色の渦が動きます。
零点のまわりでは全色相が反時計回りに1周（巻き数 +1）、 極のまわりでは時計回りに1周（巻き数 −1）します。 色が出会う1点 = 零点／極の位置です。
色相 = arg f
暗い = |f| 小（零点へ）
明るい = |f| 大（極へ）
領域彩色図（クリックでも零点／極を選択）
関数
—
マウス位置 z
—
|f(z)|（大きさ）
—
arg f(z)（偏角 = 色相）
—
複素関数
そこで領域彩色（domain coloring）では、入力平面の各点を「その点での出力の色」で塗ります。 出力
色がぐるりと一周する「風車の中心」が零点（f=0）か極（f=∞）。 巻き方向で両者を見分けられます。
f(z) は入力も出力も複素数なので、ふつうのグラフでは描けません（4次元が必要）。そこで領域彩色（domain coloring）では、入力平面の各点を「その点での出力の色」で塗ります。 出力
w = f(z) の偏角 arg w を色相に、
大きさ |w| を明暗に対応させると、関数全体が一枚の絵になります。色がぐるりと一周する「風車の中心」が零点（f=0）か極（f=∞）。 巻き方向で両者を見分けられます。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 色相 = arg f(z)、明暗 = |f(z)| ── 1つの色で複素数の出力を完全に表せる。
- 零点のまわりは色相が反時計回りに1周（巻き数 +n）、極は時計回り（巻き数 −m）。風車の回り方で見分ける。
- 暗い穴が零点、白く飛ぶ点が極。位数が高いほど1点で色相が複数周する。
- 等角格子を重ねると、正則関数は交差の直角を保ったまま網目を曲げる（等角写像）。これが「角度を保つ」性質。