ジューコフスキー変換で翼に
等角写像 w = z + 1/z で円を翼型に変身させる。中心をずらした円を動かすと、厚みと反りが変わります。
-0.120
0.100
12
円の中心 c
—
半径 R（後縁を a=1 に固定）
—
翼の最大厚み
—
反り（キャンバー）
—
z 平面：ずらした円（青）＋単位円（点線）— 赤い点 c をドラッグで移動
w 平面：w = z + 1/z による翼型
複素平面上の点
円の中心を左（実軸負）へずらすほど翼は厚く、上（虚軸正）へずらすほど反り（キャンバー）が増えます。 スライダーまたは z 平面の赤い点 c をドラッグして中心を動かし、円と翼がどう連動するか確かめましょう。「格子像」を ON にすると、直交格子の像がすべて直角を保つ＝等角性が見えます。
z = x + iy を w = z + 1/z で写すのがジューコフスキー変換です。
これは等角写像（角度を保つ写像）の代表例で、後縁 z = 1 を必ず通る円を選ぶと、像はなめらかな前縁と尖った後縁をもつ翼型（エアフォイル）になります。円の中心を左（実軸負）へずらすほど翼は厚く、上（虚軸正）へずらすほど反り（キャンバー）が増えます。 スライダーまたは z 平面の赤い点 c をドラッグして中心を動かし、円と翼がどう連動するか確かめましょう。「格子像」を ON にすると、直交格子の像がすべて直角を保つ＝等角性が見えます。
いま何が起きている？
ここがポイント
- w = z + 1/z ── 円を翼型に写す。後縁 z = 1 を通る円を選ぶのがコツ。
- 後縁の尖り（キャスプ）は
w'(z) = 1 − 1/z²が z = ±1 で 0 になる臨界点のため。等角性が破れる唯一の場所。 - 中心 x を負にずらす → 厚みが増す。中心 y を正にずらす → 反りが増す。
- 臨界点以外では角度が保たれる（等角）── 直交格子の像が直角のまま曲がるのがその証拠。