メビウス変換は円を円へ

複素関数 w = (az+b)/(cz+d) は、円や直線を「円または直線」に写します。係数を動かして、左の図形が右へどう写るか体感しましょう。

変換の係数（複素数 a, b, c, d）

Re(a) 1.00

Im(a) 0.00

Re(b) 0.00

Im(b) 0.00

Re(c) 0.00

Im(c) 0.00

Re(d) 1.00

Im(d) 0.00

直交格子（等角性）サンプル円と直線単位円

行列式 ad − bc

—

特異点 z = −d/c（∞へ写る）

—

∞ の行き先 w = a/c

—

z 平面（入力・ドラッグで○を動かせます）

w 平面（= (az+b)/(cz+d) で写した像）

サンプル円サンプル直線単位円直交格子注目点 z₀ → w₀

複素数 z を w = (az+b)/(cz+d)（ad − bc ≠ 0）へ写す写像をメビウス変換といいます。
これは「平行移動・回転拡大・反転 1/z」を組み合わせたもので、最大の特徴は 円や直線をすべて「円または直線」に写す（円円対応 circline）こと。直線は「半径∞の円」と考えると、円と直線は一つの仲間です。
さらに角度を保つ等角写像なので、直交する格子は写した後も交点で直角を保ちます。係数を動かして確かめましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

円円対応 ── 円も直線も「円または直線」に写る。直線は半径∞の円と見なせる。
等角写像 ── 角度を保つ。直交格子は像でも交点で直角のまま（c≠0 では曲がるが直交は保たれる）。
特異点 z = −d/c が ∞ に、∞ が a/c に写る。c = 0 なら ∞ は ∞ のままで、変換は単なる回転拡大＋平行移動。
ad − bc ≠ 0 が条件。これが 0 だと全平面が 1 点につぶれて逆変換ができない。