極と零点で格子が破れる
等角写像 w = f(z) が方眼をどう曲げるか。極では近傍が無限遠へ飛び、零点では潰れる様子を、特異点をドラッグして体感します。
関数 f(z) を選ぶ
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右の w 平面にあるオレンジの ◆ は、極の位置 a を動かす操作用ハンドルです（極そのものの像は無限遠にあり、w 平面上には描けません）。◆ をドラッグすると a が変わり、格子像が即座に描き変わります。
関数 f(z)
—
極の位置 a
—
零点の位置
—
z 平面（元の方眼）
× 極 ／ ○ 零点
w 平面（f で写した像 ／ ◆ ハンドルをドラッグ）
◆ a の操作用ハンドル（極の像は無限遠） ／ ○ 零点の像（w = 0） ／ 極マーカー（×）は z 平面のみ
複素関数
ところが分母が 0 になる極では値が ∞ に発散し、近くの格子は外へ大きく引き伸ばされて無限遠へ飛びます。逆に分子が 0 になる零点では多くの点が 1 か所へ集まり、格子が潰れてつぶれます。
関数を切り替え、特異点
w = f(z) は、z 平面の方眼（縦線と横線）を w 平面へ写します。微分可能で f'(z) ≠ 0 の点では交わる角度がそのまま保たれる等角写像になり、格子は曲がっても直交を保ったまま変形します。ところが分母が 0 になる極では値が ∞ に発散し、近くの格子は外へ大きく引き伸ばされて無限遠へ飛びます。逆に分子が 0 になる零点では多くの点が 1 か所へ集まり、格子が潰れてつぶれます。
関数を切り替え、特異点
a をドラッグして、格子のどこが破れるか確かめましょう。なお極の像は無限遠にあるため w 平面には描けません。w 平面のオレンジの ◆ は「極そのもの」ではなく、a の複素座標を w 平面の目盛りに重ねた操作用ハンドルです。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 極（分母 = 0） ── 値が ∞ に発散し、近傍の格子は無限遠へ引き伸ばされて破れる。
- 零点（分子 = 0） ── 多くの点が 1 点に集まり、格子が潰れる。1/z では z = ∞ が零点。
- 等角性 ── 特異点を除き、かつ
f'(z)≠0の点では角度が保存され、曲がった格子も直交を保つ（z²/(z−a)のz=2aのように、正則でも f'=0 なら等角性は崩れる）。 - a を動かす意味 ── 極や零点を動かすと「破れる場所」が一緒に動く。特異点が格子変形の中心（w 平面の ◆ は a の操作用ハンドル。極の像は無限遠なので図には現れない）。