留数定理：囲んだ特異点を数える

閉じた経路で複素関数を一周積分すると、その答えは「中に囲んだ極の留数の和」だけで決まります。経路の頂点をドラッグして ∮f dz = 2πi·Σ Res を体感しましょう。

関数 f(z) を選ぶ

分割数 N（積分の細かさ） 240

頂点（白丸）をドラッグして経路を動かせます

囲んだ極の数

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留数の和 Σ Res

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理論値 2πi·Σ Res

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数値積分 ∮f dz

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2πi·Σ Res と ∮f dz の比較

理論値 2πi·Σ Res 数値積分 ∮f dz

複素平面（極＝×印／青い多角形＝積分経路、頂点をドラッグ）

囲まれている極外側の極積分経路（反時計回り＋）

複素関数 f(z) は、特定の点（極）で無限大に発散します。その極の「強さ」を表す数が 留数 Res です。
留数定理は、閉じた経路にそって f(z) を一周積分した値 ∮f dz が、 経路の内側にある極の留数を足し合わせて 2πi を掛けただけになる、と主張します：∮f dz = 2πi · Σ Res。
驚くべきは、経路の形は関係ないこと。どんなに経路をぐにゃぐにゃ動かしても、囲む極の集合が同じなら答えは同じ。経路が極をまたいだ瞬間だけ、値がカクッと飛びます。頂点をドラッグして確かめましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

∮f dz = 2πi·Σ Res ── 答えは「囲んだ極の留数の和」だけで決まり、経路の形にはよらない。
経路が極をまたぐ瞬間に値が 2πi·(その留数) だけ飛ぶ ── 連続的に動かしているのに積分値は段差を持つ。
極を1つも囲わなければ ∮f dz = 0（コーシーの積分定理）── 内部が正則なら一周は打ち消し合う。
分割数 N を増やすほど数値積分 Σf(zₖ)Δzₖ が理論値に近づく ── 折れ線で曲線を近似しているため、N が小さいと誤差が残る。