発散と回転（湧き出し・渦）
ベクトル場の係数を変え、四角い小領域での流入出収支 = div、置いた羽根車の回転 = rot を測ります。場の演算子の意味を操作で体感します。
ベクトル場 F = ( a·x + b·y , c·x + d·y ) の係数
0.8
-0.6
0.6
0.8
発散 div F = a + d
—
回転 rot F = c − b
—
領域の正味流出量（数値）
—
羽根車の角速度（数値）
—
操作のヒント
赤い四角を場の上でドラッグして動かすと、その小領域の境界を出入りする流量の収支（正味流出量）が更新されます。
紫の羽根車は四角の中心に置かれ、まわりの流れで回り続けます。回る向き・速さが回転 rot です。
「▶ 流れを再生」で粒子を流すと、湧き出し・吸い込み・渦の様子が見えます。
ベクトル場と測定領域（ドラッグで移動）
流れ（ベクトル場）を 2 つの数で特徴づけます。発散 div F は、ある一点から流れがどれだけ湧き出しているか（＋）／吸い込まれているか（−）。
小さな領域の境界を出る流量の合計が正なら湧き出し、負なら吸い込みです。
回転 rot F は、その点で流れがどれだけ渦を巻いているか。流れの中に置いた羽根車の回る速さ・向きがそれです。
線形な場
回転 rot F は、その点で流れがどれだけ渦を巻いているか。流れの中に置いた羽根車の回る速さ・向きがそれです。
線形な場
F = (a·x + b·y, c·x + d·y) では、div = a + d、rot = c − b と係数だけで決まります。スライダーで動かして確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- div = 湧き出し/吸い込み ── 小領域の境界を出る正味流量。div>0 で湧き出し、div<0 で吸い込み（ガウスの定理）。
- rot = 渦 ── 流れに浮かべた羽根車の回転。rot>0 で反時計回り、rot<0 で時計回り。
- 線形場では div = a+d、rot = c−b ── 領域を動かしても値は一定（発散と回転が空間的に一様）。数値で測った流出量・角速度が、それぞれの理論値（div×面積、rot/2）と一致する。
- div と rot は独立 ── 「湧き出すが回らない」「回るが湧き出さない」「どちらもゼロ（せん断）」が別々に作れる。