ナイキスト線図と安定判別
G(jω)の軌跡が −1 点をどう回るかで閉ループ安定性を判定する。
8.0
1.0
0.6
0.3
—
−1 点の囲み N
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実軸交点 σ
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位相交差 ωpc
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ゲイン余裕
—
複素平面上の開ループ
G(jω) 軌跡。青＝ω:0→+∞、水色＝0→−∞（共役）、赤×＝臨界点 −1。紫の点線＝実軸交点と −1 の距離（ゲイン余裕に対応）。
フィードバック制御では、開ループ伝達関数 G(jω) = K / ((1+jωτ₁)(1+jωτ₂)(1+jωτ₃)) の周波数応答を複素平面に描いたナイキスト線図を使って、閉ループ系が安定かどうかを判定します。
この G は開ループ極がすべて左半平面（P = 0）なので、ナイキスト安定判別法はシンプルになります ── 軌跡が 臨界点 −1 + 0j を時計回りに囲まなければ閉ループは安定、囲めば不安定です。
K を上げると軌跡が原点から外へ拡大し、3 つの 1 次遅れが合わさった −180° 付近で軌跡が実軸を横切る点が −1 に近づきます。スライダーで K・τ を動かし、囲みの有無と余裕がどう変わるか確かめましょう。
この G は開ループ極がすべて左半平面（P = 0）なので、ナイキスト安定判別法はシンプルになります ── 軌跡が 臨界点 −1 + 0j を時計回りに囲まなければ閉ループは安定、囲めば不安定です。
K を上げると軌跡が原点から外へ拡大し、3 つの 1 次遅れが合わさった −180° 付近で軌跡が実軸を横切る点が −1 に近づきます。スライダーで K・τ を動かし、囲みの有無と余裕がどう変わるか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 軌跡が −1 を囲むと不安定 ── 開ループ安定（P=0）なら、右半平面の閉ループ極の数 Z は「−1 のまわりの時計回りの囲み回数 N」に等しい（Z = N + P）。N = 0 で安定。
- K を上げると軌跡が拡大して −1 へ近づく ── G は K に比例するので軌跡全体が K 倍に膨らみ、実軸交点が −1 を越えると囲みが発生して不安定になる。
- 実軸交点と −1 の距離がゲイン余裕 ── 位相が −180° になる ωpc での |G| を 1 に戻すのに許される倍率 1/|G(jωpc)|。交点が −1 のすぐ右なら余裕が小さく、左に出たら余裕は失われている。