PID 制御（P・I・D の役割）
比例・積分・微分の3ゲインで、行き過ぎ・定常偏差・整定がどう変わるか。
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行き過ぎ量
—
整定時間 (±2%)
—
定常偏差
—
—
横軸＝時間 [s]、縦軸＝出力 y。赤の点線＝目標値 r、青の線＝閉ループのステップ応答 y(t)。緑帯＝±2% 整定バンド。
PID 制御は、目標値 r と現在の出力 y の差（誤差
操作量は
3つのゲインを動かすと、速さ（P）・定常偏差の解消（I）・振動の抑制（D）がどう変わるか体感できます。
e = r − y）から操作量 u を作って、プラント（制御対象）を目標に近づけるフィードバック制御の定番です。操作量は
u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt。ここでは2次系プラント y'' = u − 2ζ·wn·y' − wn²·y（ばね・質量・ダンパ的な応答）にステップ目標を与え、離散シミュレーションで応答を描きます。閉ループの特性多項式は s³ + (2ζwn+Kd)s² + (wn²+Kp)s + Ki です。3つのゲインを動かすと、速さ（P）・定常偏差の解消（I）・振動の抑制（D）がどう変わるか体感できます。
いま何が起きている？
ここがポイント
- P（比例）── 誤差に比例して押す。上げると応答は速くなるが、定常偏差が残り、大きすぎると行き過ぎ・振動が増える。
- I（積分）── 誤差を積み上げて押し続ける。定常偏差をゼロにするが、溜め込みで行き過ぎ（オーバーシュート）が増え応答が振動的になりやすい。
- D（微分）── 誤差の変化（速度）に反応してブレーキをかける。行き過ぎ・振動を抑え整定を速める。ただしノイズに弱い。
- 安定性は極で決まる── Ki>0 では Routh–Hurwitz 条件
(2ζwn+Kd)(wn²+Kp) > Kiを満たさないと閉ループが不安定になる。短時間の波形が穏やかでも安定とは限らない。