根軌跡（ゲインで極が動く）
ループゲイン K を上げると閉ループ極が s 平面をどう動き、いつ不安定になるか。
G(s) = K / [ s(s+1)(s+2) ]
2.00
閉ループ極 1
—
閉ループ極 2
—
閉ループ極 3
—
虚軸交差ゲイン
K = 6
安定
× ＝ 開ループ極 (0, −1, −2)。● ＝ 現在の K での閉ループ極。薄い青線 ＝ K を 0 から増やしたときの極の軌跡。点線 ＝ 虚軸（ここを越えると不安定）。
開ループ伝達関数 G(s) = K / [ s(s+1)(s+2) ] を単位フィードバックで閉じると、
閉ループ極は特性方程式 1 + G(s) = 0、すなわち
根軌跡とは、ゲイン K を 0 から大きくしていったときに、この 3 根が s 平面（横軸＝実部 σ、縦軸＝虚部 jω）をどう動くかを描いた曲線です。 極の実部が正になると応答が発散し、システムは不安定になります。K を動かして、極が右へ進み、いつ虚軸を越えるか確かめましょう。
s³ + 3s² + 2s + K = 0 の 3 つの根になります。根軌跡とは、ゲイン K を 0 から大きくしていったときに、この 3 根が s 平面（横軸＝実部 σ、縦軸＝虚部 jω）をどう動くかを描いた曲線です。 極の実部が正になると応答が発散し、システムは不安定になります。K を動かして、極が右へ進み、いつ虚軸を越えるか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 軌跡は開ループ極から出発する ── K = 0 のとき閉ループ極は開ループ極そのもの（0, −1, −2）。K を増やすと 3 根がそこから動き出す。
- 分岐点で実根が複素共役になる ── 実軸上を近づいた 2 根が出会い、上下に分かれて複素数になる（このとき振動成分が現れる）。
- K を上げると極が右へ動く ── 複素極の実部が増えていき、減衰がだんだん弱くなる。
- 虚軸を越えると不安定 ── K ≈ 6 で 1 対の極がちょうど虚軸 (±j√2) に乗り、持続振動に。さらに上げると実部が正となり発散する。