二次遅れ系のステップ応答
減衰比ζと固有角周波数ωnで、行き過ぎ量・整定時間・立ち上がりが決まる。
0.30
2.0
—
行き過ぎ量 Mp
—
ピーク時間 tp
—
整定時間 ts (±2%)
—
立ち上がり tr
—
青＝出力 y(t)、緑の太線＝目標値 1、緑の帯＝±2% 整定帯。赤丸＝最初のピーク（行き過ぎの頂点）。横軸は時間 t [s]。
二次遅れ系は、伝達関数
応答の形は 減衰比 ζ と 固有角周波数 ωn の 2 つだけで決まり、設計では 行き過ぎ量 Mp・整定時間 ts・立ち上がり時間 tr という指標で評価します。スライダーやプリセットで ζ・ωn を動かし、応答がどう変わるか確かめてみましょう。
G(s) = ωn² / (s² + 2ζωn·s + ωn²) をもつ最も基本的な制御対象です。目標値を 1（単位ステップ）に切り替えたとき、出力 y(t) がどう追従するかを描いています。応答の形は 減衰比 ζ と 固有角周波数 ωn の 2 つだけで決まり、設計では 行き過ぎ量 Mp・整定時間 ts・立ち上がり時間 tr という指標で評価します。スライダーやプリセットで ζ・ωn を動かし、応答がどう変わるか確かめてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- ζ < 1（不足減衰）は行き過ぎて振動する ── 目標値 1 を超えて何度かオーバーシュートし、減衰しながら収束。Mp = exp(−πζ/√(1−ζ²)) で行き過ぎ量が決まる。
- ζ = 1（臨界減衰）が「行き過ぎなしで最速」 ── 振動せずに最短で目標へ到達する境界。これより遅いと過減衰でのろくなる。
- ωn を上げると応答全体が速くなる ── tp・ts・tr がすべて 1/ωn に比例して短縮。ただし Mp は ζ だけで決まり、ωn では変わらない。
- 自由振動ではなく「目標値追従」の設計 ── 自由に揺れる振り子と違い、ここでは指令値 1 にいかに速く・行き過ぎずに合わせるかを Mp/ts/tr で評価する。