混合戦略
相手の確率 q* と自分の確率 p* が互いを無差別にするとき、混合戦略均衡になる。
ゲームを選ぶ（行プレイヤー＝あなた／列プレイヤー＝相手）
0.30
利得表（セル内はあなたの利得, 相手の利得）
| 相手 L（確率 q） | 相手 R（確率 1−q） | |
|---|---|---|
| あなた T | — | — |
| あなた B | — | — |
相手の確率 q
—
T の期待利得 E[T]
—
B の期待利得 E[B]
—
あなたの最適手
—
均衡 q*（無差別点）
—
均衡 p*（あなたが T）
—
相手の混合（L / R）
E[利得] − q グラフ（直線の交点 = 無差別点）
いま何が起きている？
相手が戦略 L を確率 q、R を確率 1−q で混ぜるとき、あなたの戦略 T と B の期待利得は、それぞれ
相手が q を上げ下げすると、現在の確率を示す縦線が左右に動き、それに応じて各戦略の期待利得（直線上の点の高さ）E[T](q) と E[B](q) が上下して、あなたにとっての「得な手」が入れ替わります。
2本の直線が交わる q では
q の1次式（直線）になります。相手が q を上げ下げすると、現在の確率を示す縦線が左右に動き、それに応じて各戦略の期待利得（直線上の点の高さ）E[T](q) と E[B](q) が上下して、あなたにとっての「得な手」が入れ替わります。
2本の直線が交わる q では
E[T] = E[B] となり、あなたはどちらを出しても同じ＝無差別。これが相手の均衡確率 q* です。さらに、あなたは相手が L と R に無差別になる確率 p* で T を選び、(p*, q*) が混合戦略均衡になります。
ここがポイント
- 期待利得は q の1次式 ──
E[T] = q·a₁ + (1−q)·a₂、E[B] = q·b₁ + (1−q)·b₂でどちらも直線。 - 交点が無差別点 ──
E[T]=E[B]を解くとq* =(b₂−a₂)/((a₁−a₂)−(b₁−b₂))。ここで T と B が同価値になる。 - 無差別だけでは均衡にならない ── 相手が q* を選ぶと、あなたのどんな混合も最適反応。ただし均衡では、あなたも相手を無差別にする p* で T と B を混ぜる。
- 互いを無差別にする組が均衡 ── 相手の利得から
p*を求め、(p*, q*)ではどちらも一方的に戦略を変えて得をできない。 - q が q* からずれると最適手は純戦略 ── 直線が高い側の手を確率1で出すのが得。