平面グラフとオイラーの公式
連結な平面グラフでは常に V − E + F = 2。閉路をつくる辺を足すと面が増える。
頂点を 2 回クリックすると辺が引けます（青→赤で選択中）。既存の辺と交差する辺は引けません（平面性を保つ）。頂点はドラッグで移動できます。
プリセット
V（頂点）
0
E（辺）
0
F（面・外側含む）
0
—
オイラーの公式は、平面に描いた連結なグラフの「頂点 V・辺 E・面 F」の間に成り立つ関係です。面 F には、グラフの外側に広がる無限の領域（外側の面）も 1 つとして数えます。
このとき、形をどう描いても必ず V − E + F = 2 になります。立体（多面体）の頂点・辺・面で成り立つ式の平面版で、グラフ理論の基本的な不変量です。
頂点を置き、辺を足したり消したりして、V・E・F がどう動いても V − E + F が変わらないことを確かめてみましょう。
このとき、形をどう描いても必ず V − E + F = 2 になります。立体（多面体）の頂点・辺・面で成り立つ式の平面版で、グラフ理論の基本的な不変量です。
頂点を置き、辺を足したり消したりして、V・E・F がどう動いても V − E + F が変わらないことを確かめてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 連結な平面グラフでは V − E + F は常に 2 ── オイラーの多面体公式（V − E + F = 2）の平面版。描き方を変えても不変。
- 閉路をつくる辺を足すと、面が 1 つ増える ── E が +1、F も +1 なので V − E + F は変わらない（2 のまま）。
- 木（閉路なし）は F = 1 ── 領域は外側だけ。V − E + F = V − (V−1) + 1 = 2 が成り立つ。
- 連結でないと右辺は 2 にならない ── 連結成分が C 個なら V − E + F = 1 + C。だから「連結」が前提。