二次曲線と焦点

離心率 e を変えると、楕円・放物線・双曲線が一つの式 r = l / (1 + e·cosθ) で連続的につながります。

離心率 e 0.60

半通径 l（大きさ） 3.0

準線を表示

種類

—

離心率 e

—

焦点 F₁ までの距離 r₁

—

焦点 F₂ までの距離 r₂

—

r₁ + r₂（一定）

—

青い曲線上の ● をドラッグ ── 焦点までの距離 r₁, r₂ が同期し、その和（楕円）／差（双曲線）が一定に保たれます。

平面上で、定点（焦点）からの距離と定直線（準線）からの距離の比が一定 e になる点の集まりが二次曲線です。
この比 e を離心率といい、e<1 なら楕円・e=1 なら放物線・e>1 なら双曲線と、たった一つの値で形が決まります。焦点を原点に置くと、どの曲線も r = l/(1+e·cosθ) という同じ極方程式で書けます。
スライダーで e を動かすと、曲線が楕円 → 放物線 → 双曲線へなめらかに変形し、焦点と準線も一緒に動きます。曲線上の点をドラッグして、2 焦点までの距離の和（楕円）や差（双曲線）が一定であることを数値で確かめましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

離心率 e がただ一つの形を決める ── e<1 楕円・e=1 放物線・e>1 双曲線。e=0 はまん丸の円。
すべて同じ極方程式 r = l/(1+e·cosθ) ── 焦点が原点。e を連続的に変えると曲線も連続変形する。
楕円は r₁ + r₂ が一定（= 長軸 2a）、双曲線は |r₁ − r₂| が一定（= 2a）。点をどこに動かしても保たれる。
焦点と準線からの距離の比が e ── (焦点までの距離)/(準線までの距離) = e がこの曲線の定義そのもの。