定積分＝面積と原始関数（面積関数）
上端 x を動かすと、左の曲線の下の塗りつぶし面積が、右の面積関数 S(x) 上の点の高さとして同期します。さらに S'(x) = f(x)（微積分学の基本定理）を体感します。
−3.00
−3.0
上端 x
—
面積 S(x) = ∫ₐˣ f dt
—
傾き S′(x)
—
f(x)（高さ）
—
① 曲線 f(t) と、a→x の下の符号付き面積
② 面積関数 S(x)（左の面積を高さにプロット）
定積分 ∫ax f(t) dt は「曲線 f の下の符号付き面積」です。x 軸より上はプラス、下はマイナスとして足し合わせます。
上端 x を右へ動かすと面積がたまっていきます。この「たまった面積」を x の関数として描いたものが 面積関数 S(x)（=原始関数）です。
驚くのはここから ── S(x) の傾き S′(x) は、ちょうど元の高さ f(x) に一致します。これが微積分学の基本定理で、「積分」と「微分」が逆の操作であることを意味します。
上端 x を右へ動かすと面積がたまっていきます。この「たまった面積」を x の関数として描いたものが 面積関数 S(x)（=原始関数）です。
驚くのはここから ── S(x) の傾き S′(x) は、ちょうど元の高さ f(x) に一致します。これが微積分学の基本定理で、「積分」と「微分」が逆の操作であることを意味します。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 定積分は符号付き面積 ── x 軸の上は ＋、下は − で足す。負の領域に入ると S(x) は減る。
- S(x) = ∫ₐˣ f dt は x の関数 ── 上端 x を動かしてたまる面積をプロットすると、もう一つの曲線が現れる。
- S′(x) = f(x)（微積分学の基本定理） ── 面積関数の傾きは、その地点の f の高さに等しい。f が 0 を横切る点で S は山か谷になる。
- 下端 a を変えても傾きは不変 ── a を変えると S(x) は上下に平行移動するだけ。原始関数が「+C」の自由度を持つ理由。