解と係数の関係
2つの解 α, β をドラッグすると、放物線・係数 a, b, c・和 α+β と積 αβ が連動します。
1.0
固定して片方を動かす：
図の α β の点を左右にドラッグできます。
解 α
—
解 β
—
和 α+β = −b/a
—
積 αβ = c/a
—
α² + β²
—
係数と対称式
y = a(x−α)(x−β)（α・β をドラッグ）
2次方程式
放物線
α と β をドラッグして、放物線・係数・和・積・α²+β² がどう連動するか確かめましょう。
ax² + bx + c = 0 の2つの解を α, β とすると、係数との間に
α + β = −b/a、αβ = c/a という関係が成り立ちます。これが解と係数の関係です。放物線
y = a(x−α)(x−β) は x軸を α と β で横切ります。展開すると
y = a x² − a(α+β) x + a·αβ なので、和は1次の係数に、積は定数項に直結します。α と β をドラッグして、放物線・係数・和・積・α²+β² がどう連動するか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- α + β = −b/a ── 2解の和は先頭係数と1次の係数の比（−b/a）で決まる。和を変えずに動かすと放物線は左右に平行移動せず軸の位置が保たれる。
- αβ = c/a ── 2解の積は先頭係数と定数項の比（c/a）で決まる。積が負なら α と β は原点をはさんで反対符号になる。
- 対称式は和 s と積 p で表せる ── 例：α²+β² = s² − 2p、(α−β)² = s² − 4p。だから解そのものを知らなくても値が出せる。
- 放物線の頂点の x座標は (α+β)/2 = −b/(2a) ── 軸はちょうど2解の真ん中。a の符号で上向き／下向きが変わる。