ベクトルの内積と正射影
2本のベクトルの先端をドラッグすると、内積 a·b・なす角・正射影が即更新します。
青と赤の矢印の先端の丸をドラッグして向き・長さを変えられます（数式・図とも即更新）。
内積 a·b
—
なす角 θ
—
|a|・|b|
—
正射影の長さ
—
青ベクトル a／赤ベクトル b ── 先端をドラッグ（太い矢印が正射影）
2つのベクトルの内積は
内積は「一方のベクトルが、もう一方の向きにどれだけ伸びているか（正射影）」に長さを掛けたものと読めます。
なす角 θ が 90° のとき cosθ = 0 なので内積は 0（直交）。θ が鋭角なら内積は正、鈍角なら負になります。
先端をドラッグして、内積の符号と正射影の向きがどう切り替わるか確かめてみましょう。
a·b = aₓbₓ + a_yb_y = |a||b|cosθ で定義されます。内積は「一方のベクトルが、もう一方の向きにどれだけ伸びているか（正射影）」に長さを掛けたものと読めます。
なす角 θ が 90° のとき cosθ = 0 なので内積は 0（直交）。θ が鋭角なら内積は正、鈍角なら負になります。
先端をドラッグして、内積の符号と正射影の向きがどう切り替わるか確かめてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- a·b = |a||b|cosθ ── 成分の積の和は、長さとなす角の余弦の積に等しい。
- θ = 90° で内積 = 0 ── 直交すると正射影が消え、符号の境界になる（緑でハイライト）。
- 符号は θ で決まる ── 鋭角なら正（同じ向き寄り）、鈍角なら負（逆向き寄り）。
- 正射影の長さ = |a|cosθ = a·b / |b| ── b 方向に落とした影の長さ。負なら逆向きの影。