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平行四辺形の面積比と相似
武蔵中学校 2022年度 問2：対角線と線分の交点から五角形の面積を求める
📐 問題
面積が 132 cm² の平行四辺形 ABCD を考えます。頂点は A＝左上・B＝左下・C＝右下・D＝右上に置きます。
辺 BC を BE:EC = 1:2 に分ける点を E とします。
辺 DC 上に点 F をとります。対角線 BD と直線 AE の交点を G、対角線 BD と直線 AF の交点を H とします。
すると対角線 BD は GH:HD = 2:3 に分けられていました。 (1) 三角形 ABG の面積はいくつですか。 (2) 五角形 GECFH の面積はいくつですか。
辺 BC を BE:EC = 1:2 に分ける点を E とします。
辺 DC 上に点 F をとります。対角線 BD と直線 AE の交点を G、対角線 BD と直線 AF の交点を H とします。
すると対角線 BD は GH:HD = 2:3 に分けられていました。 (1) 三角形 ABG の面積はいくつですか。 (2) 五角形 GECFH の面積はいくつですか。
cm²
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下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1
図を確認する（スライダーで比を変えて観察）
設定の確認
平行四辺形 ABCD（青）、面積 132 cm²。AD と BC が平行な上下の辺、AB と DC が斜めの辺です。
E は辺 BC 上（オレンジ）、F は辺 DC 上（シアン）。
G は対角線 BD と線分 AE の交点（紫）、H は対角線 BD と線分 AF の交点（赤）。
平行四辺形 ABCD（青）、面積 132 cm²。AD と BC が平行な上下の辺、AB と DC が斜めの辺です。
E は辺 BC 上（オレンジ）、F は辺 DC 上（シアン）。
G は対角線 BD と線分 AE の交点（紫）、H は対角線 BD と線分 AF の交点（赤）。
BE:EC ＝ 1:2
GH:HD ＝ 2:3
△ABG（問1）
–
五角形 GECFH（問2）
–
△ABE
–
△AFD
–
△AGH
–
4領域の合計（検算）
–
ステップ 2
相似三角形で BG:GD を求める（問1）
G は線分 AE と対角線 BD の交点です。BG:GD を求めるには、G を共有する 2 つの三角形の相似を使います。
平行四辺形では AD ∥ BC（向かい合う辺）。
直線 BD が 2 本の平行線 AD・BC を横切るので 錯角が等しい。
G での向かい合う角（対頂角）も等しい。
→ △ADG ∽ △EBG（AA 相似）
直線 BD が 2 本の平行線 AD・BC を横切るので 錯角が等しい。
G での向かい合う角（対頂角）も等しい。
→ △ADG ∽ △EBG（AA 相似）
△ADG（大きい三角形）
∠ADG ＝ ∠EBG（錯角、AD∥BC）∠DAG ＝ ∠BEG（錯角、AD∥BC）
AD ＝ 3 部分（＝ BC）
△EBG（小さい三角形）
∠EBG ＝ ∠ADG（錯角、AD∥BC）∠BEG ＝ ∠DAG（錯角、AD∥BC）
EB ＝ 1 部分
相似比 ＝ AD:EB ＝ 3:1
対応する辺の比 → BG:DG ＝ 1:3（小さい三角形側が BG）
∴ BG ＝ BD ×
対応する辺の比 → BG:DG ＝ 1:3（小さい三角形側が BG）
∴ BG ＝ BD ×
1/4
面積に変換する：A から対角線 BD への高さは、BD 上のどこでも変わりません。
→ △ABG の面積は底辺 BG の長さに比例します。
→ △ABG の面積は底辺 BG の長さに比例します。
△ABD ＝ 132 ÷ 2 ＝ 66 cm²（対角線が平行四辺形を半分に分ける）
△ABG ＝ △ABD × BG/BD ＝ 66 ×
△ABG ＝ △ABD × BG/BD ＝ 66 ×
1/4 ＝ 16.5 cm²
BG:GD ＝ 1:3
△ABG ＝ 16.5 cm²
ステップ 3
BD 上の比を一本化する（BG:GH:HD ＝ 5:6:9）
問1 で BG:GD ＝ 1:3 が分かりました。さらに与えられた GH:HD ＝ 2:3 を組み合わせて、BD 全体を 1 本の比で表します。
BG:GD ＝ 1:3 から、BG ＝ 1 部分、GD ＝ 3 部分。
その GD（＝3 部分）を GH:HD ＝ 2:3 に分けると、GH ＝ 3 × 2⁄5 ＝ 6⁄5、HD ＝ 3 × 3⁄5 ＝ 9⁄5。
分母を 5 にそろえると BG:GH:HD ＝ 5⁄5 : 6⁄5 : 9⁄5
→ BG:GH:HD ＝ 5:6:9（BD 全体 ＝ 20）
その GD（＝3 部分）を GH:HD ＝ 2:3 に分けると、GH ＝ 3 × 2⁄5 ＝ 6⁄5、HD ＝ 3 × 3⁄5 ＝ 9⁄5。
分母を 5 にそろえると BG:GH:HD ＝ 5⁄5 : 6⁄5 : 9⁄5
→ BG:GH:HD ＝ 5:6:9（BD 全体 ＝ 20）
BG:GH:HD ＝ 5:6:9
BH:HD ＝ 11:9
ステップ 4
五角形 GECFH の面積を求める（問2）
五角形 GECFH を直接求めるのは大変なので、平行四辺形から外側の 3 つの三角形を引きます。
平行四辺形 ABCD ＝ 五角形 GECFH ＋ △ABE ＋ △AFD ＋ △AGH の関係を使います。
平行四辺形 ABCD ＝ 五角形 GECFH ＋ △ABE ＋ △AFD ＋ △AGH の関係を使います。
まず F の位置を相似で確定します。AB ∥ DC なので、H を共有する △ABH ∽ △FDH（AA 相似）。
相似比は BH:HD ＝ (BG+GH):HD ＝ (5+6):9 ＝ 11:9。
→ AB:FD ＝ 11:9 つまり F は辺 DC 上で DF:FC ＝ 9:2（FD ＝ DC × 9⁄11）。
相似比は BH:HD ＝ (BG+GH):HD ＝ (5+6):9 ＝ 11:9。
→ AB:FD ＝ 11:9 つまり F は辺 DC 上で DF:FC ＝ 9:2（FD ＝ DC × 9⁄11）。
① △ABE：底辺 BE ＝ BC × 1⁄3、高さは平行四辺形と共通。
△ABE ＝ 132 × 1⁄3 × 1⁄2 ＝ 132 × 1⁄6 ＝ 22 cm²
② △AFD：底辺 FD ＝ DC × 9⁄11、高さは平行四辺形と共通。
△AFD ＝ 132 × 9⁄11 × 1⁄2 ＝ 132 × 9⁄22 ＝ 54 cm²
③ △AGH：底辺 GH ＝ BD × 6⁄20、高さは A から BD まで（△ABD と共通）。
△AGH ＝ △ABD × GH⁄BD ＝ 66 × 6⁄20 ＝ 66 × 3⁄10 ＝ 19.8 cm²
△ABE ＝ 132 × 1⁄3 × 1⁄2 ＝ 132 × 1⁄6 ＝ 22 cm²
② △AFD：底辺 FD ＝ DC × 9⁄11、高さは平行四辺形と共通。
△AFD ＝ 132 × 9⁄11 × 1⁄2 ＝ 132 × 9⁄22 ＝ 54 cm²
③ △AGH：底辺 GH ＝ BD × 6⁄20、高さは A から BD まで（△ABD と共通）。
△AGH ＝ △ABD × GH⁄BD ＝ 66 × 6⁄20 ＝ 66 × 3⁄10 ＝ 19.8 cm²
五角形 GECFH ＝ 平行四辺形 − △ABE − △AFD − △AGH
＝ 132 − 22 − 54 − 19.8 ＝ 36.2 cm²
＝ 132 − 22 − 54 − 19.8 ＝ 36.2 cm²
検算：（五角形 GECFH）＋ △ABE ＋ △AFD ＋ △AGH
＝ 36.2 ＋ 22 ＋ 54 ＋ 19.8 ＝ 132 cm²（平行四辺形の面積）✓
＝ 36.2 ＋ 22 ＋ 54 ＋ 19.8 ＝ 132 cm²（平行四辺形の面積）✓
五角形 GECFH（紫）＝ 平行四辺形 − △ABE − △AFD − △AGH。スライダーで比を変えると面積が連動します。
DF:FC ＝ 9:2
五角形 GECFH ＝ 36.2 cm²
解法のポイント
- 平行四辺形の「向かい合う辺が平行」で錯角が等しくなる：AD ∥ BC なので、対角線 BD が横切るとき △ADG ∽ △EBG（AA 相似）。相似比 AD:EB ＝ 3:1 から BG:DG ＝ 1:3 が決まります。
- 「頂点を共有する三角形の面積比 ＝ 底辺の比」を使う：A を共通の頂点とすると △ABG と △ABD の高さは同じ（A から BD への垂線）なので、面積比 ＝ BG:BD ＝ 1:4。
- BD 上の比は分母をそろえて一本化する：BG:GD ＝ 1:3 と GH:HD ＝ 2:3 を合成して BG:GH:HD ＝ 5:6:9。BH:HD ＝ 11:9 から AB:FD ＝ 11:9（DF:FC ＝ 9:2）。
- 複雑な多角形は「全体 − まわりの三角形」で求める：五角形 GECFH ＝ 平行四辺形 − △ABE − △AFD − △AGH ＝ 132 − 22 − 54 − 19.8。
- 答え：(1) △ABG ＝ 16.5 cm² (2) 五角形 GECFH ＝ 36.2 cm²