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バス問題（等間隔バスとの出会い）
灘中学校（2024年度 第4問）の過去問をステップごとに動かして紐解く
🚌 問題（灘中 2024）
A町からB町へ向かう一本道を、たくさんのバスが同じ向き・同じ速さで等間隔に走っています。太郎が自転車でA町からB町へ一定の速さで進むと、20分おきにバスに追い越されました。速さを変えずに向きだけ逆（B町→A町）にすると、今度は10分おきにバスとすれ違いました。さらに自転車の速さを 6 km/h 上げると、9分おきにすれ違うようになりました。前後のバスの間隔は何 km ですか。
km
⬇ 下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1
同じ方向に走ると20分ごとに追い越される
ダイヤグラムの読み方
横軸＝時間（分）、縦軸＝A町からの距離（km）。線の傾きが急なほど速い。2本の線が交差する点＝バスが太郎君に追いつく（追い越す）瞬間。
バスは等間隔なので、ダイヤグラム上では平行な直線の束として現れます。
【同方向追い越し】
太郎君とバスが同じ方向に進むとき、バスが太郎君に追いつくまでの間に、バス1台分の間隔 d だけ差が縮まります。
「縮まる速さ」＝ バス速度 vb − 太郎速度 vt
グラフでは、バスの線（オレンジ）が太郎君の線（青）に追いつく間隔が20分ごとになっているのが確認できます。
太郎君とバスが同じ方向に進むとき、バスが太郎君に追いつくまでの間に、バス1台分の間隔 d だけ差が縮まります。
「縮まる速さ」＝ バス速度 vb − 太郎速度 vt
d ÷ (vb − vt) ＝ 20分 ＝ 1/3 時間 → d ＝ (vb − vt) / 3 …①グラフでは、バスの線（オレンジ）が太郎君の線（青）に追いつく間隔が20分ごとになっているのが確認できます。
0.0 分
※スライダーを動かして追い越し間隔（20分）を確認できます
ステップ 2
逆方向に走ると10分ごとに出会う
【逆方向すれ違い】
太郎君が方向を反転すると、バスと正面から近づきます。「近づく速さ」＝ vb ＋ vt
①と②を比較します：
ダイヤグラムでは、太郎君の線（青）の傾きが負（左下向き）になり、交差の間隔が10分に縮まっています。
太郎君が方向を反転すると、バスと正面から近づきます。「近づく速さ」＝ vb ＋ vt
d ÷ (vb ＋ vt) ＝ 10分 ＝ 1/6 時間 → d ＝ (vb ＋ vt) / 6 …②①と②を比較します：
(vb − vt) / 3 ＝ (vb ＋ vt) / 6 → 2(vb − vt) ＝ vb ＋ vt → vb ＝ 3vtダイヤグラムでは、太郎君の線（青）の傾きが負（左下向き）になり、交差の間隔が10分に縮まっています。
0.0 分
※逆方向に走ると出会い間隔が20分から10分に半減します
ステップ 3
速さを6km/h上げると9分ごとに出会う → 連立方程式で解く
【速さを上げたとき】
逆方向のまま速さを 6 km/h 増やすと、近づく速さは vb ＋ vt ＋ 6 になります。
②と③から vb ＋ vt を求める：
vb ＝ 3vt を代入：
間隔 d：
逆方向のまま速さを 6 km/h 増やすと、近づく速さは vb ＋ vt ＋ 6 になります。
d ÷ (vb ＋ vt ＋ 6) ＝ 9分 ＝ 3/20 時間 → d ＝ 3(vb ＋ vt ＋ 6) / 20 …③②と③から vb ＋ vt を求める：
②＝③ → 20(vb＋vt) ＝ 18(vb＋vt＋6) → 2(vb＋vt) ＝ 108 → vb＋vt ＝ 54 km/hvb ＝ 3vt を代入：
3vt ＋ vt ＝ 54 → vt ＝ 13.5 km/h、vb ＝ 40.5 km/h間隔 d：
d ＝ (vb ＋ vt) / 6 ＝ 54 / 6 ＝ 9 km
算数解法のポイント
- 同方向と逆方向で式を立てる：同方向なら「バス間隔 ÷ (バス速度 − 自転車速度) ＝ 追い越し間隔」、逆方向なら「バス間隔 ÷ (バス速度 ＋ 自転車速度) ＝ 出会い間隔」。2本の式から速度の比が分かります。
- 速さを変えた条件で絶対値を確定：「速さを6km/h増やして9分ごと」という第3の条件が vb ＋ vt ＝ 54 km/h を確定させます。比だけでは間隔 d は求まりません。
- ダイヤグラム（進行グラフ）で視覚化：バスを平行な直線の束として描くと、交差間隔が「速度差・速度和」に反比例することが一目で分かります。等間隔バス問題全般で使えるテクニックです。