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円錐の展開図と側面の最短経路
市川中学校（2023年度 第1回 大問4）の過去問を展開図で理解する
📐 問題（市川中 2023年度 第1回 大問4）
底面の半径 2 cm、母線 6 cm の円錐があります。底面の直径の両端を A、B とします。
(1) A から側面に沿って 1 周し A に戻る糸の、最短の長さはいくつですか。
(2) B から側面に沿って 1 周し B に戻る糸の、最短の長さはいくつですか。
(3) (1)(2) の 2 本の糸を同時に巻きつけたとき、2 本で囲まれた色付き部分の面積を求めなさい。高さ 1 cm の正三角形の面積は 0.58 cm² として使ってよい。
(1) A から側面に沿って 1 周し A に戻る糸の、最短の長さはいくつですか。
(2) B から側面に沿って 1 周し B に戻る糸の、最短の長さはいくつですか。
(3) (1)(2) の 2 本の糸を同時に巻きつけたとき、2 本で囲まれた色付き部分の面積を求めなさい。高さ 1 cm の正三角形の面積は 0.58 cm² として使ってよい。
cm
ヒント：√ を使って答えてください（例：6√3 や 6√2 など）
下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1
円錐を「ひらく」と扇形が現れる
展開図の考え方
扇形の弧の長さ ＝ 底面の円周 ＝ 2π × 2 ＝ 4π cm
扇形の中心角 ＝ (底面半径 ÷ 母線) × 360° ＝ (2 ÷ 6) × 360° ＝ 120°
円錐の側面（斜めの面）を切り開いてひらくと、扇形（おうぎ形）になります。
扇形の半径 ＝ 母線の長さ ＝ 6 cm扇形の弧の長さ ＝ 底面の円周 ＝ 2π × 2 ＝ 4π cm
扇形の中心角 ＝ (底面半径 ÷ 母線) × 360° ＝ (2 ÷ 6) × 360° ＝ 120°
底面の円周を「弧」として外側に広げると、半径 6 cm・中心角 120° の扇形が完成します。
底面の直径の両端 A・B は、弧の上の点として現れます。
弧の長さ 4π cm は全円弧（12π cm）の 1/3 → 中心角は 360° × 1/3 ＝ 120° と求められます。
底面の直径の両端 A・B は、弧の上の点として現れます。
弧の長さ 4π cm は全円弧（12π cm）の 1/3 → 中心角は 360° × 1/3 ＝ 120° と求められます。
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スライダーを動かして円錐→展開図の変化を確認できます
ステップ 2
展開図上の点 A・B の位置
展開図（扇形）の上で点 A・B はどこに現れるでしょうか？
底面の円上で A と B は直径の両端なので、底面の円弧上で 180° 離れた位置にいます。底面の全周（360°）が扇形の弧（120°）に対応するので、底面での 180° は展開図の弧上では 60° の位置関係になります。
扇形を左右対称に配置すると（弧が下方向に開く）：
A₁ ＝ 弧の左端（扇形の左辺の先）
A₂ ＝ 弧の右端（扇形の右辺の先）← A₁ と同じ物理点
B ＝ 弧の中央（扇形の真下）
展開図上では、A₁ から B まで 60°、B から A₂ まで 60°（合計 120° ＝ 扇形の中心角）。
頂点 C・A₁・B は互いに 6 cm 離れた正三角形を形成します。同様に C・B・A₂ も正三角形です。
底面の円上で A と B は直径の両端なので、底面の円弧上で 180° 離れた位置にいます。底面の全周（360°）が扇形の弧（120°）に対応するので、底面での 180° は展開図の弧上では 60° の位置関係になります。
扇形を左右対称に配置すると（弧が下方向に開く）：
A₁ ＝ 弧の左端（扇形の左辺の先）
A₂ ＝ 弧の右端（扇形の右辺の先）← A₁ と同じ物理点
B ＝ 弧の中央（扇形の真下）
展開図上では、A₁ から B まで 60°、B から A₂ まで 60°（合計 120° ＝ 扇形の中心角）。
頂点 C・A₁・B は互いに 6 cm 離れた正三角形を形成します。同様に C・B・A₂ も正三角形です。
ステップ 3
最短経路 ＝ 展開図上の直線
曲面上を移動するひもの最短経路は、展開図（平面）に広げたときの直線になります。これが「展開図」を使う最大のポイントです。
(1) A から A への最短距離
展開図で A₁ から A₂ を直線で結ぶと、その長さが最短経路。余弦定理：
|A₁A₂|² ＝ 6² ＋ 6² − 2 × 6 × 6 × cos120° ＝ 36 ＋ 36 − 72 × (−½) ＝ 108
|A₁A₂| ＝ √108 ＝ 6√3 cm
(2) B から B への最短距離
B が「1 周して戻る」経路は、展開図を 2 枚並べた状態で B から隣の扇形上の B₂ へ直線を引きます。
B₂ は 120° 隣の扇形の中央弧点（B₂ の扇形角度 ＝ B の角度 ＋ 120°）。余弦定理：
|BB₂|² ＝ 6² ＋ 6² − 2 × 6 × 6 × cos120° ＝ 108
|BB₂| ＝ 6√3 cm（A と同じ！）
(1) A から A への最短距離
展開図で A₁ から A₂ を直線で結ぶと、その長さが最短経路。余弦定理：
|A₁A₂|² ＝ 6² ＋ 6² − 2 × 6 × 6 × cos120° ＝ 36 ＋ 36 − 72 × (−½) ＝ 108
|A₁A₂| ＝ √108 ＝ 6√3 cm
(2) B から B への最短距離
B が「1 周して戻る」経路は、展開図を 2 枚並べた状態で B から隣の扇形上の B₂ へ直線を引きます。
B₂ は 120° 隣の扇形の中央弧点（B₂ の扇形角度 ＝ B の角度 ＋ 120°）。余弦定理：
|BB₂|² ＝ 6² ＋ 6² − 2 × 6 × 6 × cos120° ＝ 108
|BB₂| ＝ 6√3 cm（A と同じ！）
ステップ 4
2 本のひもが囲む面積
2 本のひもは展開図上の点 P で交差します。色のついた部分は「2 本のひもと弧で囲まれた部分」です。
考え方：60° のおうぎ形から☆の三角形を 4 個取りのぞく
色のついた部分 ＝ おうぎ形 C-B-A₂（中心角 60°、半径 6）から ☆の三角形 4 個を取りのぞいた形。
☆を 2 個つなげると 高さ 3 cm の正三角形 になります。与えられた「高さ 1 cm の正三角形 ＝ 0.58 cm²」より、高さ 3 cm では 0.58 × 3² ＝ 0.58 × 9 ＝ 5.22 cm²。
計算（π ≈ 3.14 を使用）
おうぎ形（60°, r＝6）＝ 6 × 6 × 3.14 × 1/6 ＝ 18.84 cm²
☆ 4 個 ＝ 5.22 × 2 ＝ 0.58 × 9 × 2 ＝ 10.44 cm²
色のついた部分 ＝ 18.84 − 10.44 ＝ 8.4 cm²
考え方：60° のおうぎ形から☆の三角形を 4 個取りのぞく
色のついた部分 ＝ おうぎ形 C-B-A₂（中心角 60°、半径 6）から ☆の三角形 4 個を取りのぞいた形。
☆を 2 個つなげると 高さ 3 cm の正三角形 になります。与えられた「高さ 1 cm の正三角形 ＝ 0.58 cm²」より、高さ 3 cm では 0.58 × 3² ＝ 0.58 × 9 ＝ 5.22 cm²。
計算（π ≈ 3.14 を使用）
おうぎ形（60°, r＝6）＝ 6 × 6 × 3.14 × 1/6 ＝ 18.84 cm²
☆ 4 個 ＝ 5.22 × 2 ＝ 0.58 × 9 × 2 ＝ 10.44 cm²
色のついた部分 ＝ 18.84 − 10.44 ＝ 8.4 cm²
算数解法のポイント
- 円錐の展開図 ＝ 扇形：母線が半径、底面の円周が弧に対応します。中心角 ＝ (底面半径 ÷ 母線) × 360°。この問題では (2÷6) × 360° ＝ 120°。
- 曲面上の最短経路 ＝ 展開図上の直線：「1 周する」ひもは展開図で 2 枚並べた扇形上の「同じ点の別の現れ方」を直線で結びます。
- A・B 両方とも 6√3 cm：余弦定理 |A₁A₂|² ＝ 36＋36＋36 ＝ 108 → 6√3 cm。B のひもも同じ結果。
- ☆の三角形でうめる：取りのぞく☆を 2 個つなげると高さ 3 cm の正三角形になり、0.58 × 9 ＝ 5.22 cm²。これが 2 つ分で 10.44 cm²。
- 色のついた部分 ＝ 60° おうぎ形 − ☆ 4 個：18.84 − 10.44 ＝ 8.4 cm²（正確には 6π − 6√3 ≈ 8.46 cm²）。