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約数・倍数と最大公約数・最小公倍数
「かけても割っても整数になる数」の正体は最小公倍数！（東京農業大学第一高等学校中等部 2021年度 2月1日実施 第2問(1)）
📋 問題（東京農業大学第一高等学校中等部 2021年度 2月1日実施 第2問(1)）
7/13 を掛けても 7/13 で割っても結果が整数になる整数のうち、2021 にいちばん近いものを答えなさい。
答えを求めなさい（2021 に最も近い整数）
解法の糸口：
ある数 N に
ある数 N を
よって N は 13 の倍数 かつ 7 の倍数 → N は
2021 ÷ 91 = 22.2… なので、91 × 22 = 2002、91 × 23 = 2093。2021 に近いのは 2002。
ある数 N に
7/13 をかけて整数になる → N × 7/13 が整数 → N は 13 の倍数ある数 N を
7/13 で割って整数になる → N × 13/7 が整数 → N は 7 の倍数よって N は 13 の倍数 かつ 7 の倍数 → N は
LCM(7, 13) = 91 の倍数！2021 ÷ 91 = 22.2… なので、91 × 22 = 2002、91 × 23 = 2093。2021 に近いのは 2002。
7
13
← 問題の A=7、B=13 で設定済み。
スライダーを動かして他の数でも確認できます。
スライダーを動かして他の数でも確認できます。
GCD(A,B)
1
LCM(A,B)
91
A の約数
B の約数
共通約数（公約数）
A=7、B=13 のとき 2021 に最も近い LCM の倍数
A×B の格子点。GCD の正方形タイルで見える。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 「p/q をかけて整数」→ q の倍数 ── N × p/q = (N/q) × p。整数にするには N が q の倍数であればよい。
- 「p/q で割って整数」→ p の倍数 ── N ÷ (p/q) = N × q/p = (N/p) × q。整数にするには N が p の倍数であればよい。
- 「かつ」条件 → LCM ── 両方を同時に満たすには、N が p の倍数 かつ q の倍数 = LCM(p, q) の倍数。
- GCD × LCM = A × B ── 長方形タイル図で確認できる算数の基本関係式。7 と 13 は互いに素（GCD=1）なので LCM = 91。