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図形の規則性・ピラミッド状三角形（頴明館中）

頴明館中学校（2010年度 大問4）の過去問をアニメーションで理解する

📐 問題（頴明館中 2010 大問4）

正三角形を 1 段・2 段・3 段…とピラミッドのように積み重ねていきます（下図）。
(1) 5段のとき、正三角形の数・頂点の数・辺の数を求めなさい。
(2) 正三角形の数が289個になるのは何段ですか。
(3) 頂点の数が105個になるのは何段ですか。
問(2) を解いてみよう：正三角形が 289 個になるのは何段？
段
ヒント：三角形の数は n² です。289 = □² になる整数を考えてみましょう。
下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1

段数スライダーで三角形の成長を観察する

スライダーを動かして段数を変えると、三角形がピラミッド状に成長します。 各段ごとに色が変わります。カウンターで三角形の数・頂点の数・辺の数をリアルタイムに確認しましょう。
5
三角形：25 個
頂点：21 個
辺：45 本
各段が追加されるときに増える三角形の数：
1段め: 1個 ／ 2段め: 3個追加 ／ 3段め: 5個追加 ／ 4段め: 7個追加 ／ 5段め: 9個追加
→ n段めに追加される三角形は 2n − 1 個（奇数の列！）
1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n² 個（連続する奇数の和は完全平方数）
ステップ 2

n段のときの規則性を式で表す

n段のピラミッドでは、三角形・頂点・辺の数がそれぞれ美しい式で表せます。 下の表で各値を確認しながら、パターンを見つけましょう。
公式まとめ（n段のとき）
・三角形の数 ＝ n²　（1, 4, 9, 16, 25, …）
・頂点の数　 ＝ (n+1)(n+2) ÷ 2　（3, 6, 10, 15, 21, …）
・辺の数　　 ＝ 3n(n+1) ÷ 2　（3, 9, 18, 30, 45, …）
n（段数） 三角形 n² 頂点 (n+1)(n+2)/2 辺 3n(n+1)/2

スライダーで段を選ぶと、その段で追加される三角形（オレンジ）と蓄積の様子がわかります。

3
追加：5 個（2×3−1）
合計：9 個（3²）
頂点の数の考え方：
頂点を上から数えると、1行め 1個、2行め 2個、…、(n+1)行め (n+1)個
合計 = 1 + 2 + … + (n+1) = (n+1)(n+2)/2（三角数）

辺の数の考え方：
小さな三角形 n² 個（上向き＋下向き）の辺を単純に数えると 3n² 本ですが、共有している内部の辺を除くと
3n(n+1)/2 本になります。確認：n=5 のとき 3×5×6÷2 = 45本 ✓
ステップ 3

逆算問題を解く

公式がわかれば、数から段数を逆算できます。
問(2)：三角形が 289 個 → 何段か
三角形の数 = n² なので n² = 289 を解きます。
289 = 17 × 17 = 17² → n = 17（17段）

問(3)：頂点が 105 個 → 何段か
頂点の数 = (n+1)(n+2)/2 なので (n+1)(n+2)/2 = 105 を解きます。
(n+1)(n+2) = 210 … 連続する2整数の積 = 210
√210 ≈ 14.5 なので 14 × 15 = 210 → n+1 = 14 → n = 13（13段）
確認：n=13 のとき (13+1)(13+2)/2 = 14×15/2 = 105 ✓
答え確認

問(1) 5段のときの答え

5段のとき
・三角形の数 = 5² = 25個
・頂点の数　 = (5+1)(5+2)/2 = 6×7/2 = 21個
・辺の数　　 = 3×5×6/2 = 45本

算数解法のポイント

  • 三角形の数 = n²（完全平方数）：各段で追加される三角形が 1, 3, 5, 7, …（奇数列）となるため、合計は連続奇数の和 = n²。逆算は「□² = 289」→「□ = 17」の平方根の暗算。
  • 頂点の数 = 三角数 (n+1)(n+2)/2：頂点を行ごとに数えると 1+2+…+(n+1) の和になります。逆算は「(n+1)(n+2) = 210」→「連続2整数の積」として√210≈14.5 から 14×15 を見つけます。
  • 辺の数 = 3×三角数 = 3n(n+1)/2：辺は三角形ごとに3本ですが共有辺があるため実質は 3n(n+1)/2 本。
  • 逆算の手順：公式に目標の数を代入 → 因数分解 → 連続整数の積を探す、という3ステップで解けます。