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べき乗を7で割った余りの規則
2^A と 3^B を7で割った余りの周期から「合計が7の倍数になる (A,B) の組数」を求める（鷗友学園女子中学校 2025年度 第1回 第9問）
📋 問題（鷗友学園女子中学校 2025年度 第一回入学試験 第9問）
1 以上の整数 a, b に対して、a を b 個かけた数を [a, b] と書くことにします。
たとえば [2, 1] = 2、[2, 2] = 4、[2, 3] = 8、[3, 4] = 81 です。
たとえば [2, 1] = 2、[2, 2] = 4、[2, 3] = 8、[3, 4] = 81 です。
(1) [2, 11] を 7 で割った余りはいくつですか。
余り：
(2) [2, 50] + [3, 40] を 7 で割った余りはいくつですか。
余り：
(3) A, B をそれぞれ 1 以上 25 以下の整数とします。[2, A] + [3, B] が 7 で割り切れる (A, B) は何組ありますか。
組
解き方のポイント：2^n と 3^n を 7 で割った余りはそれぞれ周期的に繰り返します。
2^n mod 7：周期 3（2, 4, 1, 2, 4, 1, …）
3^n mod 7：周期 6（3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, …）
二つの余りの和が 7 の倍数（= 余り 0）になる組み合わせを数えます。
2^n mod 7：周期 3（2, 4, 1, 2, 4, 1, …）
3^n mod 7：周期 6（3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, …）
二つの余りの和が 7 の倍数（= 余り 0）になる組み合わせを数えます。
2^n を 7 で割った余り（周期 3）
| n | 2^n | ÷7 余り |
|---|
3^n を 7 で割った余り（周期 6）
| n | 3^n | ÷7 余り |
|---|
A と B を動かして、合計の余りを確認
11
4
A（1〜25）×B（1〜25）の全625組。緑のセルが「和が7の倍数」になる組。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 余りは周期的 ── 2^n mod 7 は {2,4,1} の3周期、3^n mod 7 は {3,2,6,4,5,1} の6周期。無限に続く数列でも周期さえわかれば答えられる。
- (1) [2,11] mod 7 ── 11 ÷ 3 = 3 余り 2 → 余り 2 パターン → 4。
- (2) [2,50]+[3,40] mod 7 ── 50÷3余り2→2^50 mod 7=4、40÷6余り4→3^40 mod 7=4。4+4=8→8 mod 7=1。
- (3) 組の数え方 ── A=1〜25で余り{1,2,4}がそれぞれ出る回数を数え、B=1〜25で余り{3,2,6,4,5,1}が出る回数と掛け算。和が7になる(r_A, r_B)の対を列挙する。