3人の旅人算（速さと比・往復）

考え方：出会うまでに2人が歩いた距離の合計は、いつも PQ の2倍
3人とも P を出発して Q で折り返す往復です。2人が出会うのは、速いほうが Q で折り返して戻り、向かい合う瞬間。 このとき2人が歩いた距離の合計は、ちょうど P→Q→（出会い）と、P→（出会い）で PQ × 2 になります。
つまり (2人の速さの和) × (出会いの時刻) = PQ × 2（一定）。
速さの和は出会いの時刻に反比例するので：
(A+B) : (A+C) : (B+C) = 1/10 : 1/12 : 1/15
分母をそろえて（×60） = 6 : 5 : 4

和から1人ずつの速さへ
A+B = 6, A+C = 5, B+C = 4 の3式をすべて足すと
2(A+B+C) = 15 → A+B+C = 7.5
よって A = 7.5 − 4 = 3.5, B = 7.5 − 5 = 2.5, C = 7.5 − 6 = 1.5
整数比に直して A : B : C ＝ 7 : 5 : 3

「A が戻ったとき B はあと360 m」を比で読む
A が1往復してP地点に戻るまでに歩く距離は PQ × 2。同じ時間に B が歩く距離は速さの比 7:5 から PQ × 2 × 5/7 = 10/7 × PQ。
B はまだP地点に戻りきれておらず、残り（Pまでの距離）は
PQ × 2 − 10/7 × PQ = 4/7 × PQ
これが 360 m なので
4/7 × PQ = 360 → PQ = 630 m

C の速さを単位つきで出す
A が1往復に歩く距離 630 × 2 = 1260 m、その時刻は出会いの式から
(A+B) × 10 = 1260 → A+B = 126 m/分、比 7:5 で A = 73.5, B = 52.5 m/分。
C は比 3 なので C = 73.5 × 3/7 = 分速 31.5 m。
（検算：(A+C)×12 = (73.5+31.5)×12 = 1260, (B+C)×15 = (52.5+31.5)×15 = 1260 ✓）

言いかえ：C が線分 AB のまんなか（中点）に来るとき
「A と C の距離」＝「B と C の距離」とは、数直線上で C が A と B からちょうど等しい距離にあること。 これは C が A と B の中点に重なる、つまり (Aの位置 + Bの位置) ÷ 2 = Cの位置 という意味です。

① 1回目：A と B が出会う 10分後
A と B が出会うと Aの位置 = Bの位置。その中点も同じ位置なので、Cがどこにいても「AとCの距離」と「BとCの距離」は自動的に等しくなります。
t = 10分：A = B = 525 m、C = 315 m。AとCの距離も BとCの距離も 525 − 315 = 210 m ✓

② 2回目：C が中点に追いつく 40/3 分後
10分の時点で、A はすでに Q で折り返して P方向（−73.5 m/分）に進んでおり、B はまだ Q方向（+52.5 m/分）に進んでいます。 このとき線分ABの中点の速さは (−73.5 + 52.5) ÷ 2 = −10.5 m/分（1分に10.5 m ずつP寄りに下がる）。
10分の時点で中点は 525 m、C は 315 m で、その差は 210 m。中点は下へ 10.5 m/分、C は上へ 31.5 m/分 なので、差は 10.5 + 31.5 = 42 m/分 で縮まります。
210 ÷ 42 = 5分 → 追いつくのは 10 + 5 = 15分？ ではありません。Aは 120/7 ≈ 17.14分、Bは 12分で折り返すため、この一定速度が続くのは B が折り返す 12分まで。 12分以降は B もP方向に向き、中点の速さが変わります。場合分けして式を立て直すと、解は B 折り返し後の区間にあり
t = 40/3 分（＝13分20秒）。
t = 40/3 分：A = 280 m, B = 560 m, C = 420 m。中点 = (280 + 560) ÷ 2 = 420 m ＝ C ✓（AとC・BとCの距離はどちらも 140 m）