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三角形の面積比と線分比（灘中 2021）
灘中学校（2021年 1日目 第9問）の過去問をインタラクティブに理解する
📐 問題（灘中 2021年 1日目 第9問）
面積 80cm² の三角形 ABC があり、辺 AB 上に D、辺 BC 上に E、辺 CA 上に F をとります。
三角形 ADF の面積は 10cm²、三角形 CFE の面積は 35cm²、また FC ＝ AF × 3 です。
BF と DE の交点を G とするとき、GF は BG の何倍になりますか。
三角形 ADF の面積は 10cm²、三角形 CFE の面積は 35cm²、また FC ＝ AF × 3 です。
BF と DE の交点を G とするとき、GF は BG の何倍になりますか。
倍
下にスクロールして3ステップの解説とインタラクティブ図を見ましょう
ステップ 1
AF:FC = 1:3 から △ABF と △CBF の面積を求める
面積比＝底辺比（高さが共通のとき）
△ABF と △CBF は頂点 B を共有し、底辺が AF と FC（同じ直線 AC 上）。
高さは B から AC への垂線で共通なので、
△ABF : △CBF ＝ AF : FC ＝ 1 : 3
△ABF ＋ △CBF ＝ 80 cm² より
△ABF ＝ 20 cm² ， △CBF ＝ 60 cm²
△ABF と △CBF は頂点 B を共有し、底辺が AF と FC（同じ直線 AC 上）。
高さは B から AC への垂線で共通なので、
△ABF : △CBF ＝ AF : FC ＝ 1 : 3
△ABF ＋ △CBF ＝ 80 cm² より
△ABF ＝ 20 cm² ， △CBF ＝ 60 cm²
スライダーで AF:AC の比を変えると、△ABF（黄色）と △CBF（緑）の面積がリアルタイムに変わります。
1 : 4
△ABF
△CBF
ステップ 2
△ADF＝10 から AD/AB、△CFE＝35 から CE/CB を求める
△ADF と △ABF の底辺 AF が共通 → 高さ比 ＝ AD:AB
△ADF : △ABF ＝ AD : AB（底辺 AF が共通で、高さは D・B から直線 AF への距離）
……D・B から直線 AF への垂線距離の比がそのまま AD:AB になります
10 : 20 ＝ AD : AB → AD : AB ＝ 1 : 2（つまり D は AB の中点）
△CFE と △CBF の底辺 CF が共通 → 高さ比 ＝ CE:CB
35 : 60 ＝ CE : CB → CE : CB ＝ 7 : 12（BE : BC ＝ 5 : 12）
△ADF : △ABF ＝ AD : AB（底辺 AF が共通で、高さは D・B から直線 AF への距離）
……D・B から直線 AF への垂線距離の比がそのまま AD:AB になります
10 : 20 ＝ AD : AB → AD : AB ＝ 1 : 2（つまり D は AB の中点）
△CFE と △CBF の底辺 CF が共通 → 高さ比 ＝ CE:CB
35 : 60 ＝ CE : CB → CE : CB ＝ 7 : 12（BE : BC ＝ 5 : 12）
下の図では各点 D・E・F の位置が固定（問題の条件通り）で全6つの小三角形が色分けされています。面積ラベルを確認しましょう。
△ADF = 10
△BDF = 10
△BEF = 25
△CFE = 35
△DEF = ?
ステップ 3
GF : BG を座標で求める（答え 11:10）
座標を設定して G の位置を計算する
△ABC の面積＝80 となる座標を設定：
A ＝ (0, 10)、B ＝ (0, 0)、C ＝ (16, 0) → 面積 ＝ ½ × 16 × 10 ＝ 80 ✓
条件から各点を決定：
D：AD:AB＝1:2 → D ＝ (0, 5)
E：BE:BC＝5:12 → E ＝ (20/3, 0)
F：AF:AC＝1:4 → F ＝ A + ¼(C−A) ＝ (4, 7.5)
直線 BF と直線 DE の交点 G：
BF のパラメータ表示：(4t, 7.5t)
DE のパラメータ表示：(20s/3, 5−5s)
4t ＝ 20s/3、7.5t ＝ 5−5s を解くと s ＝ 2/7、t ＝ 10/21
G は B から BF 上で t＝10/21 の位置なので
BG : BF ＝ 10 : 21 → GF : BF ＝ 11 : 21
よって GF : BG ＝ 11 : 10 → GF ＝ 1.1 × BG
△ABC の面積＝80 となる座標を設定：
A ＝ (0, 10)、B ＝ (0, 0)、C ＝ (16, 0) → 面積 ＝ ½ × 16 × 10 ＝ 80 ✓
条件から各点を決定：
D：AD:AB＝1:2 → D ＝ (0, 5)
E：BE:BC＝5:12 → E ＝ (20/3, 0)
F：AF:AC＝1:4 → F ＝ A + ¼(C−A) ＝ (4, 7.5)
直線 BF と直線 DE の交点 G：
BF のパラメータ表示：(4t, 7.5t)
DE のパラメータ表示：(20s/3, 5−5s)
4t ＝ 20s/3、7.5t ＝ 5−5s を解くと s ＝ 2/7、t ＝ 10/21
G は B から BF 上で t＝10/21 の位置なので
BG : BF ＝ 10 : 21 → GF : BF ＝ 11 : 21
よって GF : BG ＝ 11 : 10 → GF ＝ 1.1 × BG
下のキャンバスでスライダーを操作すると GF/BG の比がリアルタイムに変わります（基本条件では 1.1 倍）。「経路アニメーション」ボタンで B→G→F を光点でトレースできます。
1 : 4
線分 BF
線分 DE
点 G（交点）
各小三角形の面積まとめ（問題の条件：AF:FC＝1:3）
| 三角形 | 面積 (cm²) | 計算根拠 |
|---|---|---|
| △ABF | 20 | 80 × 1/4 |
| △CBF | 60 | 80 × 3/4 |
| △ADF | 10 | 問題の条件（AD/AB＝1/2） |
| △BDF | 10 | △ABF − △ADF ＝ 20−10 |
| △CFE | 35 | 問題の条件（CE/CB＝7/12） |
| △BEF | 25 | △CBF − △CFE ＝ 60−35 |
| △BDE | 50/3 ≈ 16.7 | 80 × (BD/BA) × (BE/BC) ＝ 80 × 1/2 × 5/12 |
| △DEF | 55/3 ≈ 18.3 | 80 − △ADF − △BDE − △CFE ＝ 80 − 10 − 50/3 − 35 |
※ ポイントは「分け方」です。△ABC は3隅の三角形 △ADF・△BDE・△CFE と中央の △DEF に過不足なく分割できるので、△DEF ＝ 80 − 10 − 50/3 − 35 ＝ 55/3 cm² と面積だけで求まります（△BDF・△BEF は F を通る別の分け方なので、これらを引いても △DEF にはなりません）。さらに △BDE と △FDE は底辺 DE を共有するので、BG : GF ＝ △BDE : △FDE ＝ 50/3 : 55/3 ＝ 10 : 11、すなわち GF ＝ 1.1 × BG。下の座標計算はこの結果を裏付けます。
算数解法のポイント
- 底辺比＝面積比（高さ共通）：同じ頂点から出た2三角形は、底辺の比がそのまま面積の比になる。
- AF:FC＝1:3 → △ABF:△CBF＝1:3：共通頂点 B から見た底辺の分割比。
- △ADF:△ABF＝AD:AB：共通頂点 F から見た底辺 AD と AB の比。
- 交点 G の比は座標でスッキリ：パラメータ t＝BG/BF＝10/21 が即座に出る。
- GF:BG＝11:10：BG/BF＝10/21、GF/BF＝11/21 なので GF:BG＝11:10＝1.1。