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ニュートン算（行列の消滅）

開成中学校 2011年度 第2問 — 3つの条件から行列の人数と消滅時間を求める

🎒 問題（開成中学校 2011年度 第2問）

ある動物園では開門前にすでに長い行列ができており、その後も一定の割合で人が行列に加わります。開門と同時に券売機を 5 台使うと 20 分で行列がなくなり、6 台では 15 分でなくなります。さらに、開門時の行列が 50 人少なかったとすると、7 台で 10 分でなくなるといいます。
問題文にある「行列の人数」「加わる割合」「券売機1台の処理速度」はどれも与えられていません。次の3つの条件だけから導きます。
問い(1)：開門のとき、行列は何人いますか？（＝ N）
問い(2)：券売機を 10 台使うと、何分で行列がなくなりますか？
↓ 下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1

3つの条件を「式」にする

わからない量に文字を置きます。
N＝開門のときの行列（人）、a＝毎分 行列に加わる人数（人/分）、b＝券売機1台が毎分処理する人数（人/分）。

開門してから行列が消えるまでの間に「最初にいた人＋あとから来た人」を全員さばく、と考えると次の関係が成り立ちます。
（開門時の人数）＋（到着の合計）＝（台数）×（1台の処理量 b）×（時間）

この形に3つの条件を当てはめると、3本の式が立ちます。下のグラフは、3条件が「縦軸＝行列人数、横軸＝時間」のどの直線・どの点に対応するかを示しています（このときの a・b・N はまだ未知で、ステップ2で連立して求めます）。
条件 台数 時間 開門時の行列 立てた式
条件① 5 台 20 分 N N + 20a = 5×b×20 = 100b
条件② 6 台 15 分 N N + 15a = 6×b×15 = 90b
条件③ 7 台 10 分 N − 50 (N−50) + 10a = 7×b×10 = 70b
ステップ 2

3本の式を連立して a・b・N を求める

未知数は a・b・N の3つ、式も3本。差をとって1つずつ文字を消していきます。
  1. ①から②を引く（N が消える）：
    (N+20a) − (N+15a) = 100b − 90b → 5a = 10b → a = 2b
  2. ②から③を引く（N が消える）：
    (N+15a) − (N−50+10a) = 90b − 70b → 5a + 50 = 20b
  3. そこへ a = 2b を代入：
    10b + 50 = 20b → 50 = 10b → b = 5（1台は毎分5人）
  4. a = 2b より a = 10（毎分10人が行列に加わる）
  5. ①に代入して N を求める：
    N = 100b − 20a = 100×5 − 20×10 = 500 − 200 → N = 300
検算：②に入れると 300 + 15×10 = 450、90×5 = 450 で一致。
③に入れると (300−50) + 10×10 = 350、70×5 = 350 で一致。3条件すべてを満たします。
a（毎分の到着）
10 人/分
b（1台の処理）
5 人/分
N（開門時の行列）
300 人
ステップ 3

求めた a・b で、台数を変えると消滅時間はどう変わる？

ここからは導いた値 a＝10、b＝5、N＝300 を使います。
券売機が t 台なら毎分の処理は t×b 人、到着は a 人なので、正味の減少 ＝ t×b − a。
行列が消える時間は N ÷（正味の減少） です。スライダーを動かして確かめましょう。
正味の減少が 0 以下になる台数（2 台＝処理10人/分で到着とつり合う）では、行列は永遠に消えません。
5 台
処理量 t×b（毎分）
25 人/分
到着 a（毎分）
10 人/分
正味の減少（毎分）
15 人/分
行列消滅まで
20.0 分
ステップ 4

問い(2)：10 台使うと何分で行列がなくなる？

10 台のとき：
処理量 ＝ 10 × b ＝ 10 × 5 ＝ 50 人/分
正味の減少 ＝ 50 − a ＝ 50 − 10 ＝ 40 人/分
消滅時間 ＝ N ÷ 40 ＝ 300 ÷ 40 ＝ 7.5 分

再生ボタンを押すと、5台（20分）・6台（15分）・10台（7.5分）の行列の減り方が同時に確認できます。
点線の「条件③ 7台・初期250人」は、開門時が 50 人少ない場合（N−50＝250）に 7 台で 10 分ちょうどになる様子です。
0.0 分
※ 5・6・10 台＋条件③(7台・250人) を表示
5 台 — 消滅
20.0 分
6 台 — 消滅
15.0 分
10 台 — 消滅
7.5 分
答え：問い(1)＝300 人、問い(2)＝7.5 分（7 分 30 秒）。

ニュートン算のポイント

  • 未知数は「初期 N・到着 a・処理 b」の3つ：はじめの行列だけでなく、加わる割合 a も処理速度 b も問題は教えてくれません。だから条件も3つ必要で、3本の式を連立して初めて値が決まります。
  • 「初期＋到着の合計＝台数×b×時間」が式の骨格：消える瞬間までに来た人を全員さばく、という関係から各条件の式を作ります。
  • 差をとって文字を消す：初期人数 N が同じ条件①②の差から a=2b、条件②③の差から b が出ます。これが連立の山場です。
  • 条件③の「50人少なければ」は別の初期人数：右辺の台数×時間だけ見ると見落としますが、左辺の開門時人数が N−50 になっている点が3本目の式を生みます。
  • 到着 a ≥ 処理 t×b のとき行列は消えない：正味の減少が 0 以下（この問題では 2 台＝処理10人/分）だと行列は減らず、増え続けます。