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水槽の中の 2 つのおもり — 水位グラフの折れ点
渋谷教育学園幕張中 2024年 第3問 をステップごとに動かして紐解く
問題（渋谷教育学園幕張中 2024年 第3問）
高さ 30cm の空の直方体容器 C の底に、円柱形のおもり A と B を置きます。
2 つのおもりは体積が等しく、A の高さは B の高さの 3 倍です （A は細く高い／B は太く低い）。
この容器へ上から一定の割合で水を注ぎます。下のグラフは、注ぎ始めてからの 経過時間（秒）と水面の高さ（cm）の関係です。
2 つのおもりは体積が等しく、A の高さは B の高さの 3 倍です （A は細く高い／B は太く低い）。
この容器へ上から一定の割合で水を注ぎます。下のグラフは、注ぎ始めてからの 経過時間（秒）と水面の高さ（cm）の関係です。
グラフから読み取れること：
・グラフは 2 か所で折れ曲がり、折れ点は 12 秒 と 48 秒 にある。
・水を入れ始めて 60 秒 でちょうど満水（水面の高さ 30cm）になる。
・グラフの折れ点の高さは、イ（おもり B の高さ）と ア（おもり A の高さ）。
・グラフは 2 か所で折れ曲がり、折れ点は 12 秒 と 48 秒 にある。
・水を入れ始めて 60 秒 でちょうど満水（水面の高さ 30cm）になる。
・グラフの折れ点の高さは、イ（おもり B の高さ）と ア（おもり A の高さ）。
（1）容器 C の底面積は、おもり A の底面積の何倍ですか。
倍
（2）グラフの空欄 ア・イ に当てはまる数を答えなさい（単位は cm）。
ア＝
／ イ＝
↓ 下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1
水槽とおもりの構造を理解する
スライダーを動かすと、断面図（左）に水位がリアルタイムで反映されます。
おもり A（細く高い・灰色） と おもり B（太く低い・濃灰色） が底に置かれており、 水はおもりのない隙間にしか入れません。
2 つのおもりは体積が等しく、A の高さは B の高さの 3 倍なので、 底面積の比は A : B ＝ 1 : 3（高さの逆比）になります。
おもり A（細く高い・灰色） と おもり B（太く低い・濃灰色） が底に置かれており、 水はおもりのない隙間にしか入れません。
2 つのおもりは体積が等しく、A の高さは B の高さの 3 倍なので、 底面積の比は A : B ＝ 1 : 3（高さの逆比）になります。
ポイント：水の入る断面積（有効断面積）とは？
水が実際に入れる断面積 ＝「容器 C の底面積」−「水面と交わっているおもりの断面積の合計」
同じ流量でも、この断面積が小さいほど水位は速く上がります。
水が実際に入れる断面積 ＝「容器 C の底面積」−「水面と交わっているおもりの断面積の合計」
同じ流量でも、この断面積が小さいほど水位は速く上がります。
水
おもり A（細く高い・底面 1）
おもり B（太く低い・底面 3）
0.0 秒
スライダーで時間 0〜60 秒を操作できます
ステップ 2
グラフの折れ点とフェーズの関係
水位-時間グラフは 3 つのフェーズに分かれ、それぞれ傾きが異なります。
折れ点①（12 秒）で背の低いおもり B が水中に沈み（水位 ＝ イ）、 折れ点②（48 秒）で背の高いおもり A も沈みます（水位 ＝ ア）。
水の入る断面積が大きいフェーズほど、グラフの傾きはゆるやかになります。
折れ点①（12 秒）で背の低いおもり B が水中に沈み（水位 ＝ イ）、 折れ点②（48 秒）で背の高いおもり A も沈みます（水位 ＝ ア）。
水の入る断面積が大きいフェーズほど、グラフの傾きはゆるやかになります。
| フェーズ | 時間 | 水位 | 水の入る断面積（容器の底面積を 10 とした比） | 傾き |
|---|---|---|---|---|
| フェーズ 1 | 0 〜 12 秒 | 0 〜 イ（25/3 ≒ 8.33cm） | 10 − 1 − 3 ＝ 6（A も B も突き出る） | 最も急 |
| フェーズ 2 | 12 〜 48 秒 | イ 〜 ア（25cm） | 10 − 1 ＝ 9（B は水没・A だけ突き出る） | 中くらい |
| フェーズ 3 | 48 〜 60 秒 | ア 〜 30cm | 10（A も B も水没） | 最もゆるい |
フェーズ 1（傾き急：断面積 6）
フェーズ 2（傾き中：断面積 9）
フェーズ 3（傾き緩：断面積 10）
0.0 秒
ステップ 3
循環しない解き方 — 「時間の比 ＝ 水の体積の比」で解く
水は一定の割合で入るので、各フェーズの所要時間は、そのフェーズで入った水の体積に比例します。
折れ点が 12 秒・48 秒・60 秒なので、3 フェーズの時間の比は
12 : (48 − 12) : (60 − 48) ＝ 12 : 36 : 12 ＝ 1 : 3 : 1 です。
折れ点が 12 秒・48 秒・60 秒なので、3 フェーズの時間の比は
12 : (48 − 12) : (60 − 48) ＝ 12 : 36 : 12 ＝ 1 : 3 : 1 です。
① 容器の底面積を求める（問 1）
容器 C の底面積を c、A の底面積を 1、B の底面積を 3 とおく。B の高さを イ とすると、A の高さ ＝ ア ＝ 3 × イ。
各フェーズで入る水の体積は
・フェーズ 1 ＝ (c − 4) × イ ／ フェーズ 2 ＝ (c − 1) × (ア − イ) ＝ (c − 1) × 2イ
時間の比 フェーズ1 : フェーズ2 ＝ 1 : 3 なので 3 ×（c − 4）× イ ＝ (c − 1) × 2イ
→ 3(c − 4) ＝ 2(c − 1) → 3c − 12 ＝ 2c − 2 → c ＝ 10。
よって容器 C の底面積は A の底面積の 10 倍。
容器 C の底面積を c、A の底面積を 1、B の底面積を 3 とおく。B の高さを イ とすると、A の高さ ＝ ア ＝ 3 × イ。
各フェーズで入る水の体積は
・フェーズ 1 ＝ (c − 4) × イ ／ フェーズ 2 ＝ (c − 1) × (ア − イ) ＝ (c − 1) × 2イ
時間の比 フェーズ1 : フェーズ2 ＝ 1 : 3 なので 3 ×（c − 4）× イ ＝ (c − 1) × 2イ
→ 3(c − 4) ＝ 2(c − 1) → 3c − 12 ＝ 2c − 2 → c ＝ 10。
よって容器 C の底面積は A の底面積の 10 倍。
② 折れ点の高さ ア・イ を求める（問 2）
時間の比 フェーズ1 : フェーズ3 ＝ 1 : 1 なので（c ＝ 10 を使って）
(10 − 4) × イ ＝ 10 ×（30 − ア）。ここで ア ＝ 3イ だから
6 × イ ＝ 10 ×（30 − 3イ）→ 6イ ＝ 300 − 30イ → 36イ ＝ 300 → イ ＝ 25/3 ＝ 8 と 1/3 cm。
ア ＝ 3 × イ ＝ 3 × 25/3 ＝ ア ＝ 25 cm。
時間の比 フェーズ1 : フェーズ3 ＝ 1 : 1 なので（c ＝ 10 を使って）
(10 − 4) × イ ＝ 10 ×（30 − ア）。ここで ア ＝ 3イ だから
6 × イ ＝ 10 ×（30 − 3イ）→ 6イ ＝ 300 − 30イ → 36イ ＝ 300 → イ ＝ 25/3 ＝ 8 と 1/3 cm。
ア ＝ 3 × イ ＝ 3 × 25/3 ＝ ア ＝ 25 cm。
傾きの確認（断面積が大きいほどゆるい）
・フェーズ 1：水位 25/3 cm 上がるのに 12 秒 → 傾き ＝ (25/3) ÷ 12 ＝ 25/36 ≒ 0.69 cm/秒（断面積 6・最も急）
・フェーズ 2：水位 50/3 cm 上がるのに 36 秒 → 傾き ＝ (50/3) ÷ 36 ＝ ≒ 0.46 cm/秒（断面積 9）
・フェーズ 3：水位 5 cm 上がるのに 12 秒 → 傾き ＝ 5 ÷ 12 ＝ ≒ 0.42 cm/秒（断面積 10・最もゆるい）
・フェーズ 1：水位 25/3 cm 上がるのに 12 秒 → 傾き ＝ (25/3) ÷ 12 ＝ 25/36 ≒ 0.69 cm/秒（断面積 6・最も急）
・フェーズ 2：水位 50/3 cm 上がるのに 36 秒 → 傾き ＝ (50/3) ÷ 36 ＝ ≒ 0.46 cm/秒（断面積 9）
・フェーズ 3：水位 5 cm 上がるのに 12 秒 → 傾き ＝ 5 ÷ 12 ＝ ≒ 0.42 cm/秒（断面積 10・最もゆるい）
フェーズ 1 — 断面積 6
フェーズ 2 — 断面積 9
フェーズ 3 — 断面積 10
0.0 秒
算数解法のポイント
- 体積が等しく高さの比が A : B ＝ 3 : 1 なら、底面積の比は逆比で A : B ＝ 1 : 3。
- 水位-時間グラフの傾きは「流量 ÷ 水の入る断面積」。断面積が小さいほど傾きが急。フェーズ1(6) ＞ フェーズ2(9) ＞ フェーズ3(10) の順でゆるくなる。
- 一定の割合で水を入れるとき、各フェーズの所要時間はその区間の水の体積に比例する。折れ点 12・48・60 秒 → 時間の比 1 : 3 : 1。
- 問（1）：フェーズ1 : フェーズ2 ＝ 1 : 3 から 3(c−4) ＝ 2(c−1) を解いて c ＝ 10 倍。
- 問（2）：フェーズ1 : フェーズ3 ＝ 1 : 1 から 36イ ＝ 300 → イ ＝ 25/3 cm、ア ＝ 3イ ＝ 25 cm。
- ※ 底面積は比だけで決まる。ここでは容器 C ＝ 10、A ＝ 1、B ＝ 3（比に矛盾しない例の値）として可視化している。