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7のべき乗の下4桁の規則
7^n を10000で割った余りが「100の周期」で循環することを表で見る（海城中学校 2022年度 一般② 第3問）
📋 問題（海城中学校 2022年度 一般入試② 第3問）
整数 A を B 個かけ合わせた数を A^B と書くことにします。
たとえば 7^2 = 49、7^4 = 2401 です。次に答えなさい。
たとえば 7^2 = 49、7^4 = 2401 です。次に答えなさい。
⑴ 7^8 の下 4 桁（千・百・十・一の位）をそれぞれ答えなさい。
千
百
十
一
⑵ 7^20 の下 4 桁（千・百・十・一の位）をそれぞれ答えなさい。
千
百
十
一
⑶ 7^100 の下 4 桁（千・百・十・一の位）をそれぞれ答えなさい。
千
百
十
一
解き方のポイント：7^n を 10000 で割った余り（＝下4桁）は、100の周期で同じパターンが繰り返されます。
7^5 = 16807 → 下4桁 = 6807（7^1 の 0007 には戻らない）。実際には 100 ステップ後に 7^101 が 7^1 と同じ下4桁になります。
一の位だけ見ると {7, 9, 3, 1} の 4の周期。下4桁の完全な周期は 100。n を 100 で割った余りで場合分けします。
7^5 = 16807 → 下4桁 = 6807（7^1 の 0007 には戻らない）。実際には 100 ステップ後に 7^101 が 7^1 と同じ下4桁になります。
一の位だけ見ると {7, 9, 3, 1} の 4の周期。下4桁の完全な周期は 100。n を 100 で割った余りで場合分けします。
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（表は 7^1 〜 7^8 まで表示）
■ n÷4余り1 → 一の位=7
■ n÷4余り2 → 一の位=9
■ n÷4余り3 → 一の位=3
■ n÷4余り0 → 一の位=1
| n | n ÷ 4 の余り（一の位の周期） | 7^n の下4桁 | 千 | 百 | 十 | 一 |
|---|
100ステップで1サイクル ── セルの色は一の位（n÷4）の4周期。7^100 ≡ 0001 (mod 10000) で周期が確定。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 下4桁だけ見ればよい ── 7^n の下4桁は「7^(n−1) の下4桁 × 7 の下4桁」で決まる。大きな数全体を計算する必要がない。
- 一の位の周期は4 ── 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 … と繰り返す。n÷4 の余りで「末尾の桁」は特定できる。
- 下4桁の周期は100 ── 7^5 の下4桁 = 6807 ≠ 0007 なので4周期ではない。7^100 ≡ 0001 (mod 10000) となり、7^101 が 7^1 と同じ下4桁になる。
- n ÷ 100 の余りで場合分け ── 余り r の下4桁は MODS[r]（余り0 のとき MODS[100] = 0001）。
- 7^8 は n=8 → 下4桁 4801（千4・百8・十0・一1）。7^20 → 2001（千2・百0・十0・一1）。7^100 → 0001（千0・百0・十0・一1）。