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図形の移動（円の転がり移動）

開智日本橋学園中学校（2025年度）の入試問題をアニメーションで視覚的に解く

🎒 問題（開智日本橋学園中学校 2025年度）

1 辺 6 cm の正方形の外側を、直径 3 cm（半径 1.5 cm）の円がすべらずに転がって 1 周します。円が通過した部分の面積は何 cm² ですか。ただし円周率は 3.14 とします。
cm²
⬇ 下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1

円が転がる様子とその軌跡を確認する

直径 3 cm（半径 1.5 cm）の円が正方形の外側をすべらずに転がります。
スライダーでゆっくり動かして、円の軌跡（通過した部分）がどのように塗られていくかを確認しましょう。
通過領域は 直線の辺の部分（青） と 角の部分（橙） の2種類に分かれることに注目してください。
0.0 %
青:直線部分 / 橙:角の部分
ステップ 2

通過領域を「直線部分の長方形」と「角のおうぎ形」に分解する

通過領域は2種類の図形の組み合わせです：
① 直線部分（辺の外側）：横 6 cm × 縦 3 cm（円の直径）の長方形 ×4辺
長方形4つ ＝ 6 × 3 × 4 ＝ 72 cm²
② 角の部分：円が角を曲がるとき、半径 3 cm（円の直径）・中心角 90° のおうぎ形が4つできます：
おうぎ形4つ ＝ 3 × 3 × 3.14 × (90/360) × 4 ＝ 3 × 3 × 3.14 ＝ 28.26 cm²
ステップ 3

4つのおうぎ形を合わせると円1つ分！

4つの角にできるおうぎ形は、それぞれ中心角 90° ＝ 1/4 円です。
これを4つ合わせると、半径 3 cm の円が1つできます：
おうぎ形4つ ＝ 半径 3 cm の円1個分 ＝ 3 × 3 × 3.14 ＝ 28.26 cm²
したがって、答えは：
72 ＋ 28.26 ＝ 100.26 cm²

💡 算数解法のポイント

  • 図形の分解：「円が通過した部分」を直線部分の長方形と角のおうぎ形に分けて考えます。これが複合図形問題の基本戦略です。
  • おうぎ形の半径は円の直径：円が角を曲がるとき、中心が半径 r（円の半径）のアーク上を動くため、通過領域の半径は 2r（円の直径＝3 cm）になります。
  • 4つのおうぎ形 ＝ 1つの円：正方形には4つの 90° の角があるため、おうぎ形4つで中心角360°の円が完成します。まとめて計算できます。