visual-learning

食塩水の量の入れ替えとてんびん算

須磨学園中学校（2025年度 第2回 第7問）を題材に、量の比が入れ替わったときの濃度の動きを可視化する

📋 問題（須磨学園中 2025年 第2回 大問1(7)）

濃度のわからない食塩水 A 80g と、8% の食塩水 B 120g を混ぜます。次に A と B の量を入れ替えて（A を 120g、B を 80g）混ぜると、前より 1% 濃い食塩水になりました。食塩水 A の濃度は何 % ですか。
%
解き方のポイント：
混ぜる量を「A: 80g, B: 120g」から「A: 120g, B: 80g」に入れ替えると、食塩水 A の量が増えた分、濃度は A の濃度に近づきます。
てんびん図における腕の長さ（濃度差）の比は、混ぜる重さの逆比になります。
スライダーで A の濃度を動かして、2つの混合濃度の差がちょうど 1.0% になる点を探してみましょう。

🧪 連動てんびんシミュレーター

10.0%
Aを動かすと2つのてんびんがリアルタイムに変化します

💡 いま何が起きている？

📐 てんびん算による詳しい解説

てんびん算では、食塩水の重さを皿の重さ、濃度を軸の位置として、モーメント（重さ × 腕の長さ）が釣り合う位置が「混ぜた後の濃度」になります。

① 混ぜる量の比とてんびんの腕の比：
・ケース1：A を 80g、B を 120g 混ぜたとき。
　重さの比は A : B ＝ 80 : 120 ＝ 2 : 3。
　よって、てんびんが釣り合う支点（混合濃度1）から両端への距離（腕の比）は、逆比の 3 : 2 になります。

・ケース2：A を 120g、B を 80g 混ぜたとき（入れ替え後）。
　重さの比は A : B ＝ 120 : 80 ＝ 3 : 2。
　よって、てんびんが釣り合う支点（混合濃度2）からの腕の比は、逆比の 2 : 3 になります。

② 支点の移動と濃度の差：
食塩水 B の濃度は 8% 固定です。
A と B の濃度差（てんびん全体の長さ）を ⑤ とおきます。
・ケース1の支点は、B(8%) から A に向かって 2/5（②）進んだ位置にあります。
　（検算: (80×A + 120×8)/200 から B=8 を引くと 80(A−8)/200 = 2(A−8)/5 ）
・ケース2の支点は、B(8%) から A に向かって 3/5（③）進んだ位置にあります。
　（検算: (120×A + 80×8)/200 から B=8 を引くと 120(A−8)/200 = 3(A−8)/5 ）

ケース2はケース1よりも A 側に多く寄っているため、「前（ケース1）より 1% 濃い」ということは、支点間の距離が 1.0% であることを意味します。
てんびんの全体の長さを ⑤ とすると、支点間の距離は ③ − ② ＝ ① に相当します。
この ① が 1.0% にあたるため、てんびん全体の長さ ⑤（A と B の濃度差）は：
　1.0% × 5 ＝ 5.0% と分かります。

③ 食塩水 A の濃度を求める：
・ケース2の方がケース1より「濃くなった（濃度が上がった）」ということは、食塩水 A の方が B(8%) より濃いということです。（もし A が B より薄ければ、A を増やしたケース2は薄くなるはずです）
・したがって、A の濃度は B よりも 5% 高くなります：
　8% ＋ 5% ＝ 13%。
（※仮に A が B より薄い場合、A = 8 − 5 = 3% になりますが、この場合はケース2の方がケース1より 1% 薄くなり矛盾します）

まとめ：てんびん算の極意