正方形が長方形を通過するときの重なり面積

スライダーを動かして、時間とともに重なり面積がどう変わるか観察しましょう。
出発時、P の右端は Q の左端より 2 cm 左にあります。2 秒後に P が Q に追いついて重なりが始まります。

横軸を時間（秒）、縦軸を重なり面積（cm²）としてグラフに描きます。
スライダーと連動して、現在の時刻が青い縦線で、現在の面積が緑の点で示されます。
グラフの形に注目しましょう：右上がり → 水平 → 右下がり の台形になります。折れ点が ア・イ・ウ・エ です。

P が移動するにつれ、重なり方が 3 段階に変わります。重なりの縦は 常に 3 cm（Q の高さ）なので、面積 ＝ 重なりの横 × 3 です。重なり始めてからの経過を t′ ＝ t − 2 秒とおきます。

フェーズ 1（t ＝ 2 〜 6 秒）：P が Q に入り始める
重なりの横は t′ cm（最大は P の横 4 cm）。
面積 ＝ 3 × t′ ＝ 3 ×（t − 2）（cm²）
重なりの横が 4 cm になるのは t′ ＝ 4、すなわち t ＝ 6 秒（イ）。

フェーズ 2（t ＝ 6 〜 7 秒）：P が Q の中を通り抜ける
P の横 4 cm が Q の横 5 cm より 1 cm 短いので、重なりの横は 4 cm のまま 1 秒間続きます。
面積 ＝ 3 × 4 ＝ 12（cm²）← 最大値
最大が終わるのは t ＝ 7 秒（ウ）。

フェーズ 3（t ＝ 7 〜 11 秒）：P が Q から出ていく
残りの重なりの横は（11 − t）cm。
面積 ＝ 3 ×（11 − t）（cm²）
重なりが終わるのは t ＝ 11 秒（エ）。

(1) の答え： ア ＝ 2 秒後、イ ＝ 6 秒後、ウ ＝ 7 秒後、エ ＝ 11 秒後。
(2) の答え： 面積 10 cm² は 増える側 3 ×（t − 2）＝ 10 → t ＝ 2 ＋ 10⁄3 ＝ 5 と 1⁄3 秒後、減る側 3 ×（11 − t）＝ 10 → t ＝ 11 − 10⁄3 ＝ 7 と 2⁄3 秒後。
(3) の答え： t ＝ 6 秒〜7 秒の間が最大で、面積 ＝ 12 cm²。