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台形の回転体の体積
灘中学校（2020年度 1日目 第10問）の過去問を 3D 回転アニメーションで理解する
📐 問題（灘中 2020年度 1日目 第10問）
台形 ABCD があり、AB∥CD、AB＝6cm、CD＝2cm、AD⊥AB、AD＝4cm です。
この台形を辺 CD を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
円周率は 22/7 を用いなさい。
この台形を辺 CD を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
円周率は 22/7 を用いなさい。
cm³
ヒント：分数（704/3）か小数（234.67）で入力してください
下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1
台形と回転軸の位置関係を理解する
台形 ABCD の形を確認しよう
AB∥CD（AB が長い、CD が短い）、AD⊥AB（∠A は直角）という直角台形です。
座標で表すと：D=(0,0)、C=(2,0)、A=(0,4)、B=(6,4)
回転軸は辺 DC（x 軸方向）の延長線。DC 上の点は半径 0 で回転します。
AB∥CD（AB が長い、CD が短い）、AD⊥AB（∠A は直角）という直角台形です。
座標で表すと：D=(0,0)、C=(2,0)、A=(0,4)、B=(6,4)
回転軸は辺 DC（x 軸方向）の延長線。DC 上の点は半径 0 で回転します。
各頂点の回転軸からの距離（＝回転半径）を確認しましょう。
D=(0,0) → 距離 0（軸上）
C=(2,0) → 距離 0（軸上）
A=(0,4) → 距離 4 cm
B=(6,4) → 距離 4 cm
辺 AB（y=4）は回転軸から 4 cm 離れた水平線なので、回転すると半径 4 の円柱側面を描きます。
辺 BC は B=(6,4) から C=(2,0) の斜め線なので、回転すると円錐の側面を描きます。
D=(0,0) → 距離 0（軸上）
C=(2,0) → 距離 0（軸上）
A=(0,4) → 距離 4 cm
B=(6,4) → 距離 4 cm
辺 AB（y=4）は回転軸から 4 cm 離れた水平線なので、回転すると半径 4 の円柱側面を描きます。
辺 BC は B=(6,4) から C=(2,0) の斜め線なので、回転すると円錐の側面を描きます。
ステップ 2
回転させてできる形を観察する
台形 ABCD を DC 軸のまわりに回転させてみましょう。スライダーで回転角度を変えると立体の断面が変化します。
回転してできる立体のイメージ：
辺 AB が回転 → 半径 4 cm、高さ 6 cm の円柱の側面
辺 BC（斜め）が回転 → 頂点 C を頂点とする円錐の側面
辺 DA が回転 → x=0 の位置にある円板（蓋）
回転してできる立体のイメージ：
辺 AB が回転 → 半径 4 cm、高さ 6 cm の円柱の側面
辺 BC（斜め）が回転 → 頂点 C を頂点とする円錐の側面
辺 DA が回転 → x=0 の位置にある円板（蓋）
0°
スライダーを動かすと回転の断面が見えます
ステップ 3
体積の計算：大円柱 − 円錐
体積の分解の考え方
回転体の体積 ＝ 大きな円柱 − 円錐（くり抜かれた部分）
回転体の体積 ＝ 大きな円柱 − 円錐（くり抜かれた部分）
なぜ「大円柱 − 円錐」で求められるのか？
辺 AB（y=4、x が 0〜6）が回転すると、半径 4 cm・高さ 6 cm の大円柱が完成します。
しかし台形 ABCD の斜めの辺 BC（B=(6,4) から C=(2,0) の線）は、x=2〜6 の範囲で円錐形の空洞を作ります。
辺 BC を回転させると：頂点 C(2,0) で半径 0、B(6,4) で半径 4 の円錐（高さ 4 cm）になります。
この円錐を大円柱から引けば回転体の体積が求まります。
辺 AB（y=4、x が 0〜6）が回転すると、半径 4 cm・高さ 6 cm の大円柱が完成します。
しかし台形 ABCD の斜めの辺 BC（B=(6,4) から C=(2,0) の線）は、x=2〜6 の範囲で円錐形の空洞を作ります。
辺 BC を回転させると：頂点 C(2,0) で半径 0、B(6,4) で半径 4 の円錐（高さ 4 cm）になります。
この円錐を大円柱から引けば回転体の体積が求まります。
大円柱（r=4, h=6）
円錐（r=4, h=4）
回転体（大円柱 − 円錐）
大円柱の体積
半径 4 cm、高さ 6 cm
＝ π × 4² × 6 ＝ 96π
円錐の体積
底面半径 4 cm（B の位置）、頂点 C（半径 0）、高さ 4 cm（x=2 から x=6）
＝ (1/3) × π × 4² × 4 ＝ 64π/3
回転体の体積
＝ 96π − 64π/3
＝ (288π − 64π)/3
＝ 224π/3
π = 22/7 を代入：
＝ 224/3 × 22/7
＝ 224 × 22 ÷ (3 × 7)
＝ 4928 ÷ 21
＝ 704/3（4928 と 21 は共通因数 7 で割り切れる：4928÷7＝704、21÷7＝3）
答え：704/3 cm³ ≈ 234.67 cm³
算数解法のポイント
- 「回転軸からの距離」が回転半径になる：回転軸（DC 直線）に垂直な距離が各点の回転半径。A・B は距離 4 cm なので、AB の回転は半径 4 の円柱側面を作る。
- 直角台形の∠A=90° を活かす：AD⊥AB より、A は D の真上（x=0, y=4）、B は A から AB=6 分だけ横（x=6, y=4）。これで座標が確定する。
- 斜め辺 BC の回転 ＝ 円錐：B=(6,4) から C=(2,0) への直線は回転すると円錐。C が頂点（半径0）、B の位置が底面（半径4）、高さ＝x方向の距離＝4 cm。
- 「大円柱 − 円錐」で体積を分解する：96π − 64π/3 ＝ 224π/3。回転体をそのまま積分するより、シンプルな形の差で求める方が算数的。
- 円周率 22/7 の代入タイミング：224π/3 の π に代入。224÷7＝32 を先に計算すると 32×22÷3＝704/3 とスムーズに約分できる。