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変則トーナメント（試合数の計算）

桜蔭中学校（2019年度 大問I(3)）— 1試合で2人が負けるトーナメントの試合数を「脱落者の数」から考える

問題（桜蔭中 2019）

次のルールのゲームを考えます。
① 1 試合ごとに、負ける子どもが 2 人出る。
② 一度も負けなかった子どもがただ 1 人、優勝となる。
回
下にスクロールして解説とシミュレーションを見ていきましょう
ステップ 1

ルールを確認する — 1試合で2人が負けて脱落

普通のトーナメントは「1試合で1人が負けて脱落」しますが、
このゲームは「1試合で2人が負けて脱落」します。

スライダーで参加人数を変えながら、試合の様子をアニメーションで確認しましょう。
青丸 ＝ 勝者（次の試合へ）、赤丸 ＝ 敗者2人（脱落） です。
7 人
試合数: — 回
毎回、残った人数で 3 人ずつ組 をつくって試合を行い（残り人数 ÷ 3 の商 だけ試合が一斉に行われ、3人組にできず余った 1〜2 人はシードで通過）、
残り1人になるまで繰り返されます。（優勝までの試合数の合計は (参加者 − 1) ÷ 2 回。このPOCでは理解のため奇数に絞っています）
ステップ 2

「優勝者以外は全員どこかで必ず1回負ける」に気づく

ここが解法の核心です。

「ルール②: 最後まで一度も負けなかった1人が優勝」ということは、
優勝者を除く全員が、いずれかの試合で必ず1回負けます。

つまり：
   負けた人の合計数 ＝ 参加者 − 1

「1試合で2人が負ける」ので、
   試合数 × 2 ＝ 負けた人の合計数 ＝ 参加者 − 1
9 人
脱落者数 ＝ 9 − 1 ＝ 8 人　→　試合数 ＝ 8 ÷ 2 ＝ 4 回
スライダーを動かすとリアルタイムで式が変わります
ステップ 3

式を整理して3問の答えを確認する

ステップ2のポイントをまとめると、次の2つの式が得られます。

このゲーム（1試合2人脱落）

試合数 ＝ (参加者 − 1) ÷ 2
逆算: 参加者 ＝ 試合数 × 2 + 1

通常トーナメント（1試合1人脱落）

試合数 ＝ 参加者 − 1
逆算: 参加者 ＝ 試合数 + 1
どちらも「脱落者の総数 ＝ 参加者 − 1」が基本原理です。
脱落する人数で割るだけで試合数が求まります。
9 人
（ア）81人のとき
40 回
(81 − 1) ÷ 2 ＝ 40
（イ）235人のとき
117 回
(235 − 1) ÷ 2 ＝ 117
（ウ）24回のとき
49 人
24 × 2 + 1 ＝ 49

算数解法のポイント

  • 「全員の視点」から考える：試合を1つずつ数えるのではなく、「優勝者以外は全員どこかで1回負ける」という視点に切り替えることが核心。
  • 脱落者の総数を使う：脱落者の総数 ＝ 参加者 − 1（優勝者1人を残すため）。この数を1試合あたりの脱落人数で割れば試合数が出る。
  • 逆算も同じ仕組み：試合数から参加者を求めるときは「試合数 × 2 + 1」。試合数 × (1試合あたり脱落数) + 1 = 参加者、と覚えると通常トーナメントにも応用できる。
  • ルールの拡張：もし「1試合でk人が負ける」なら試合数 ＝ (参加者 − 1) ÷ k。同じ考え方で解ける。