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3集合のベン図（C は A・B と排他）
灘中学校（2024年度 1日目 第3問）の過去問をベン図と包除原理で解く
📋 問題（灘中 2024 — 1日目 第3問）
あるクラス全員にアンケートをとったところ、A 町に行ったことがある人はクラス全体の 2/7、B 町は 5/14、C 町は 1/9 でした。A 町と B 町の両方に行ったことがある人は全体の 1/4 です。また、C 町に行ったことがある人は A 町にも B 町にも行っていません。どの町にも行っていない人が 999 人以下のとき、その人数は最大で何人ですか。
人
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ステップ 1
条件を整理する — C は A・B と排他
まず、問題の条件をベン図に整理します。
重要な条件が「C 町に行ったことがある生徒は、A 町にも B 町にも行ったことがない」という排他条件です。
これはベン図で言うと、C の円が A の円・B の円と一切重ならないことを意味します。
一方、A と B には重複があります：
重要な条件が「C 町に行ったことがある生徒は、A 町にも B 町にも行ったことがない」という排他条件です。
これはベン図で言うと、C の円が A の円・B の円と一切重ならないことを意味します。
A∩C ＝ 0、B∩C ＝ 0
一方、A と B には重複があります：
A∩B ＝ N × 1/4
各領域をクリックすると人数の計算式を表示します（N = 1764 のとき）
領域
ステップ 2
包除原理で A∪B∪C を求める
「少なくとも1つの町に行ったことがある」人数を求めるには包除原理を使います。
C は A・B と排他なので
通分して計算（共通分母 = LCM(7, 14, 9, 4) = 252）：
A∪B∪C ＝ |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|C は A・B と排他なので
A∩C ＝ B∩C ＝ A∩B∩C ＝ 0、式がシンプルになります：A∪B∪C ＝ |A| + |B| + |C| − |A∩B|通分して計算（共通分母 = LCM(7, 14, 9, 4) = 252）：
ステップ 3
N を最大化する — 252 の倍数制約と 999 以下の制約
全部の人数が整数になるためには、N が LCM(7, 14, 9, 4) = 252 の倍数でなければなりません。
「どの町にも行かなかった」人数 ＝ N × 125/252
N = 252k とおくと：
125k ≤ 999 より
答え：125 × 7 ＝ 875 人（クラス全体 N = 1764 人のとき）
「どの町にも行かなかった」人数 ＝ N × 125/252
N = 252k とおくと：
どの町にも行かなかった ＝ 125k 人125k ≤ 999 より
k ≤ 7.99…、なので k = 7 が最大。答え：125 × 7 ＝ 875 人（クラス全体 N = 1764 人のとき）
7（N ＝ 1764）
算数解法のポイント
- 排他条件の読み取り：「C 町に行った生徒は A・B にも行っていない」＝ C の円が A・B と重ならない。この読み取りで A∩C ＝ B∩C ＝ 0 が確定し、包除原理の式が大幅に簡単になります。
- 包除原理：3 集合の和 ＝ 各集合の和 − 2 集合の共通部分の和（今回 A∩B のみ）。排他条件のおかげで引き算が 1 つだけになります。
- 整数条件から N を絞る：全体人数 N は「分母 7、14、9、4 の最小公倍数」＝ 252 の倍数でなければならない。これが key！
- 最大化：「どの町にも行かなかった」＝ 125k ≤ 999 の条件で k を最大化。k = 7 → 875 人が答え。k = 8 なら 1000 人になってしまいアウト。