条件文と対偶・逆・裏
「P ならば Q」に対し対偶・逆・裏を並べ、P / Q の真偽をトグルすると各命題の真偽が同時に変わる様子を見ます。元と論理的同値なのはどれか？
命題 P と Q の真偽をトグル（クリックで True / False が切り替わります）
P：この数は 4 の倍数
Q：この数は偶数
P の真偽
—
Q の真偽
—
元の命題 P→Q
—
対偶 ￢Q→￢P
—
含意 P→Q の真理値（4 通り）
4 つの命題（現在の P・Q での真偽）
| 名称 | 命題 | 真偽 | 元と同値？ |
|---|
「P ならば Q」という条件文（P→Q）に対して、3 つの作り替えがあります。
・逆：Q→P（P と Q を入れ替える）
・裏：￢P→￢Q（両方を否定する）
・対偶：￢Q→￢P（入れ替えて、かつ両方を否定する）
重要なのは、元の命題と必ず真偽が一致する（論理的に同値）のは対偶だけだということです。逆と裏は元と一致するとは限りません（逆と裏どうしは互いに対偶なので一致します）。
含意 P→Q は「P が真なのに Q が偽」のときだけ偽になります。P・Q をトグルして、どの命題が同時に偽になるか確かめましょう。
・逆：Q→P（P と Q を入れ替える）
・裏：￢P→￢Q（両方を否定する）
・対偶：￢Q→￢P（入れ替えて、かつ両方を否定する）
重要なのは、元の命題と必ず真偽が一致する（論理的に同値）のは対偶だけだということです。逆と裏は元と一致するとは限りません（逆と裏どうしは互いに対偶なので一致します）。
含意 P→Q は「P が真なのに Q が偽」のときだけ偽になります。P・Q をトグルして、どの命題が同時に偽になるか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 対偶は元と必ず同値 ── P→Q と ￢Q→￢P はどんな P・Q でも真偽が一致する。
- 逆・裏は元と同値とは限らない ── ただし逆と裏は互いに対偶なので、両者の真偽は常に一致する。
- 含意が偽になるのは1通りだけ ── 「P が真で Q が偽」のときのみ P→Q は偽。それ以外は真。
- 証明への応用 ── 直接示しにくい命題は、同値な対偶を示せばよい（対偶証明法）。