全称・存在量化子（∀・∃）
領域に並べた要素を P（青）にトグルして、∀x P(x)（すべて）と ∃x P(x)（存在）の真偽が即決まる様子を体感します。
6 個
図の要素をクリックで P / ¬P を切り替え
∀x P(x)（すべて青）
—
∃x P(x)（1つ以上 青）
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P の個数 / n
—
領域 D（クリックで P をトグル）
4つの命題の真偽（双対：¬∀x P ≡ ∃x ¬P／¬∃x P ≡ ∀x ¬P）
領域 D の各要素 x について「性質 P をもつ（青）か、もたない（灰）か」を決めます。
全称命題
存在命題
さらに大事なのが否定の双対：
全称命題
∀x P(x)（読み：すべての x について P(x)）は、例外が1つもないとき真。1つでも灰があれば偽です。存在命題
∃x P(x)（読み：ある x が存在して P(x)）は、青が1つでもあれば真。すべて灰のときだけ偽です。さらに大事なのが否定の双対：
¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)（「すべて」の否定は「反例が存在」）、¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)。図を動かして両辺がいつも一致することを確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- ∀ は「例外ゼロ」で真 ── 灰が1つでも混じれば偽。反例1つで崩れる。
- ∃ は「1つあれば」真 ── 青が1つでもあれば真。全部灰のときだけ偽。
- 否定の双対 ──
¬∀x P ≡ ∃x ¬P、¬∃x P ≡ ∀x ¬P。¬を内側に入れると ∀↔∃ が入れ替わる。 - 空でない領域では ∀x P(x) が真なら ∃x P(x) も必ず真（すべて→ある）。逆は成り立たない。