ベン図と集合演算
2〜3 個の集合の円をドラッグして重なりを変え、和・積・差・補・対称差の領域を塗り分けながら要素数と包除原理を体感します。
演算を選ぶ（塗られた領域が結果）
60
78 px
|A|
—
|B|
—
|C|
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選択中の領域の要素数
—
ベン図（円をドラッグで移動）
包除原理（|A∪B∪C| の足し引き）
集合はものの集まり、ベン図はその重なりを円で表した図です。
2 つの円を重ねると、領域は「A だけ」「B だけ」「A と B の両方（積
重なりを足し引きするのが包除原理です。
円をドラッグして重なりを変え、演算ボタンで領域がどう塗られ要素数がどう変わるか確かめましょう。
2 つの円を重ねると、領域は「A だけ」「B だけ」「A と B の両方（積
A∩B）」「どちらでもない（補）」に分かれます。重なりを足し引きするのが包除原理です。
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| ── 2 回数えた重なりを 1 回引きます。3 つなら
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B|−|B∩C|−|C∩A| + |A∩B∩C| と交互に足し引きします。円をドラッグして重なりを変え、演算ボタンで領域がどう塗られ要素数がどう変わるか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 和 A∪B＝どちらかに属する、積 A∩B＝両方に属する重なり部分。
- 差 A−B＝A から重なりを除いた部分、補 Aᶜ＝U のうち A の外側。
- 対称差 A△B＝「どちらか一方だけ」＝ (A∪B) − (A∩B)。
- 包除原理＝重なりを二重に数えた分を引く。円を離すと積が 0 になり、和は単純な合計に近づく。