不動点反復のクモの巣図
方程式 x = g(x) を繰り返すと答えに近づくか遠ざかるか。y = x と y = g(x) の間を往復する「クモの巣（コブウェブ）」で、収束条件 |g'| < 1 を体感します。
反復する関数 g(x) を選ぶ
0.60
0.100
40
不動点 x* （x=g(x) の解）
—
x* での傾き g′(x*)
—
判定（|g′| と 1 の比較）
—
現在の x（最後の反復値）
—
反復値 xₙ の推移（n に対する x の動き）
クモの巣図：y=x（灰）と y=g(x)（青）の間を往復
方程式を
グラフでは、縦に動いて y=g(x) に当て（次の値を計算し）、横に動いて y=x に戻す（その値を次の入力にする）操作の繰り返しになり、軌跡がクモの巣（コブウェブ）状になります。
交点
x = g(x) の形に書き直し、適当な出発点 x₀ から
x₁ = g(x₀), x₂ = g(x₁), … と同じ関数を当て続けるのが不動点反復です。グラフでは、縦に動いて y=g(x) に当て（次の値を計算し）、横に動いて y=x に戻す（その値を次の入力にする）操作の繰り返しになり、軌跡がクモの巣（コブウェブ）状になります。
交点
x*（=不動点）の近くで 傾き |g′(x*)| が 1 より小さければ吸い込まれて収束、1 より大きければ弾かれて発散します。スライダーで傾き a を動かして、巣が内向きに巻くか外向きに広がるかを確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 不動点 x* ── y=g(x) と y=x の交点。ここでは反復しても値が変わらない。
- 収束条件 |g′(x*)| < 1 ── 交点での傾きが ±45°線より緩いとクモの巣は内向きに巻いて収束する。
- 符号で形が変わる ── 0<g′<1 は階段状に片側から、−1<g′<0 は四角く渦巻いて交互に近づく。
- |g′| ≥ 1 なら発散 ── 巣が外向きに広がる。同じ方程式でも g の作り方（=g′）次第で収束/発散が決まる。