数値積分の精度競争

長方形（中点）・台形・シンプソン公式を並べ、分割数 n を増やすと誤差が n⁻², n⁻², n⁻⁴ で減る「収束速度の差」を両対数グラフで体感します。

分割数 n 6

被積分関数 f(x)

表示する公式

真値 ∫ₐᵇ f dx

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長方形誤差

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台形誤差

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シンプソン誤差

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区間 [a, b] の分割（選択中の公式を上に重ねて描画）

長方形台形シンプソン

誤差 vs 分割数 n（両対数グラフ・傾きが収束次数）

長方形 ∝ n⁻² 台形 ∝ n⁻² シンプソン ∝ n⁻⁴

定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx を数値的に求めるとき、区間を n 等分して小区間ごとの面積を足し合わせます。
小区間を 長方形で近似するか、台形で近似するか、放物線（シンプソン公式）で近似するかで、同じ n でも精度が大きく変わります。
分割を細かくする（n を増やす）と誤差は減りますが、その減り方の速さ＝収束次数は公式ごとに違います。両対数グラフ上では、傾きが −2, −2, −4 の直線として現れます。riemann-sum が「足し合わせて面積を埋める」ことを見るのに対し、ここでは 誤差のオーダー比較に注目します。

いま何が起きている？

ここがポイント

収束次数が勝負 ── 端点の左/右長方形は誤差 ∝ n⁻¹、中点長方形と台形は ∝ n⁻²、シンプソンは ∝ n⁻⁴。n を 2 倍にすると誤差はそれぞれ 1/2, 1/4, 1/16 になる。
両対数で傾きが見える ── 誤差 ≈ C·n⁻ᵖ は両対数で傾き −p の直線。グラフの直線が急なほど速く収束する。
シンプソンは「タダで2次上がる」 ── 各小区間を放物線で近似するだけで、台形より 2 次速い。滑らかな関数ほど効果が大きい。
桁落ちの限界 ── n を極端に増やすと丸め誤差が支配し、それ以上は精度が頭打ちになる（本シミュレーションは n を抑え発散しない範囲のみ）。