補間多項式とルンゲ現象
標本点を通る高次多項式は、等間隔だと端で激しく振動します。チェビシェフ点に切替えると振動が消える様子を比べます。
11 点
a = 25
多項式の次数 n
—
配置
—
最大誤差 max|f − p|
—
区間 [−1, 1] 上の 真の関数 f(x) と 補間多項式 p(x)
真の関数 f(x)
補間多項式 p(x)
標本点（p はここを必ず通る）
誤差 |f − p|
いくつかの点（標本点）をすべて通る多項式はただ1つに決まり、これを補間多項式 p(x) といいます。
点が増えるほど次数 n が上がり、もっと正確になりそうに思えます。
ところが標本点を等間隔に置くと、点を増やしたとき多項式が区間の端で激しく振動します。これがルンゲ現象です。
そこで標本点を端に密に集めたチェビシェフ点（
ところが標本点を等間隔に置くと、点を増やしたとき多項式が区間の端で激しく振動します。これがルンゲ現象です。
そこで標本点を端に密に集めたチェビシェフ点（
x = cos θ の等分点）に置き換えると、この振動はほぼ消えます。標本点の数 n+1 を増やしながら、等間隔とチェビシェフを切替えて違いを確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 点を増やす＝必ず良くなる、ではない ── 等間隔点では次数 n を上げると端の振動（誤差）がかえって増大する。
- ルンゲ現象は標本点の配置の問題 ── 関数や多項式の式が悪いのではなく、点をどこに置くかで決まる。
- チェビシェフ点は端に密 ── 区間の端ほど点を詰めることで振動が抑えられ、n を増やすほど誤差が下がる。
- 補間多項式は標本点を必ず通る ── 点と点のあいだでどれだけ暴れるかが配置次第、という話。