M/M/1 待ち行列
到着率 λ とサービス率 μ から利用率 ρ = λ/μ を決め、平均系内人数 L = ρ/(1−ρ) が ρ→1 で爆発する様子を見ます。
3.0
5.0
利用率 ρ = λ/μ
—
平均系内人数 L
—
平均待ち行列 Lq
—
平均系内時間 W
—
平均待ち時間 Wq
—
L = ρ/(1−ρ) 曲線（ρ→1 で発散）— ドットをドラッグして ρ を探索
窓口とアニメ（左から客が並び、窓口で1人ずつ処理）
M/M/1 は「客がランダムに到着し（到着率
窓口がどれだけ混んでいるかは利用率
スライダーで λ と μ を変え、ρ が 1 に近づくと行列がどう伸びるかを確かめましょう（
λ）、1つの窓口がランダムな時間でサービスする（サービス率 μ）」という最も基本的な待ち行列モデルです。窓口がどれだけ混んでいるかは利用率
ρ = λ/μ で表します。ρ が 1 に近づくほど窓口はほぼ常に埋まり、平均系内人数 L = ρ/(1−ρ) や待ち時間が爆発的に増大します。スライダーで λ と μ を変え、ρ が 1 に近づくと行列がどう伸びるかを確かめましょう（
λ ≥ μ ではシステムは安定せず行列は無限に発散します）。
いま何が起きている？
ここがポイント
- ρ = λ/μ ── 窓口の利用率。安定するのは
ρ < 1（到着がサービスより遅い）ときだけ。 - L = ρ/(1−ρ) ── ρ→1 で分母が 0 に近づき、平均人数は急激に発散する（非線形）。
- リトルの法則で、平均系内時間 W = L/λ、平均待ち時間 Wq = Lq/λ と結ばれる。
- ρ を 0.8 から 0.95 に少し上げるだけで L は約 4 倍 ── 「あと少しの混雑」が体感を大きく悪化させる。