画像のフーリエとフィルタ

画像を 2D フーリエ変換し、周波数空間で円形マスクを選ぶと逆変換結果が ぼかし ⇄ エッジ強調 に変わります。

どんな画像も、いろいろな向き・細かさの「波（正弦波）」の足し合わせで表せます。これを取り出すのが2 次元フーリエ変換です。
変換すると画像は周波数空間（スペクトル）になります。中心が低周波 = なだらかな明暗、外側ほど高周波 = 細かい模様・エッジです。
周波数空間で「どこを残すか」を円で選び、逆変換で画像に戻すのがフィルタ。中心だけ残せばぼかし（ローパス）、中心を消せばエッジ抽出（ハイパス）になります。

マスク半径 r 14 px

境界のぼかし 4 px

フィルタ種類:

画像:

※ スペクトル上をドラッグしても半径を変えられます

フィルタ

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マスク半径 r

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通過する係数の割合

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残る周波数

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入力画像 → 周波数スペクトル（マスク重ね表示・ドラッグ可）→ 逆変換（フィルタ後）

① 入力画像 f(x, y)

② スペクトル |F(u, v)|（中心=低周波）

③ フィルタ後の画像

いま何が起きている？

ここがポイント

画像＝波の重ね合わせ ── 2D フーリエ変換は画像を「向きと細かさを持つ波」に分解する。
中心 = 低周波・外側 = 高周波 ── スペクトルの中心はなだらかな明暗、外周は細かい模様やエッジ。
ローパス（中心を残す）= ぼかし ── 細かい成分を捨てると輪郭がにじむ。半径 r を小さくするほど強くぼける。
ハイパス（中心を消す）= エッジ強調 ── 全体の明るさを捨て、急変化（輪郭）だけが残る。