z平面の極と零点

単位円つき z 平面で極（×）と零点（○）をドラッグすると、伝達関数の振幅周波数応答が連動して変わります H(z) = (z−零点)/(z−極)。

離散時間フィルタの性質は、伝達関数 H(z) の極（分母 = 0 の点）と零点（分子 = 0 の点）の位置でほぼ決まります。
周波数応答は z = e^jω（単位円の上）に沿って H(z) を評価したもの。ある周波数 ω に対応する円上の点が極に近いほど応答は大きく（山）、零点に近いほど小さく（谷）なります。
安定性は極の位置で 3 つに分かれます: 単位円の内側（|p|<1）なら振動が減衰する安定、ちょうど円上（|p|=1）なら減衰も発散もしない持続振動（周辺安定）、円外（|p|>1）なら発散する不安定。円に近づけるほど共振は鋭くなります。実際に点をドラッグして確かめましょう。

追加 / 配置：

プリセット：

選択点の半径 r = |z| 0.850

選択点の角度 θ 60°

× 極（共役対）　○ 零点（共役対）
クリックで選択、ドラッグで移動。スライダーで極座標調整。

選択中の点

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最大極半径 max|p|

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安定性

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極 / 零点の数

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z 平面（単位円つき・ドラッグ可）

振幅周波数応答 |H(e^{jω})|（単位円に沿った値）

いま何が起きている？

ここがポイント

極は山、零点は谷 ── 単位円上の点が極に近いと |H| が大きく、零点に近いと小さくなる。
安定性は極の半径で 3 区分 ── 全極が円内（|p| < 1）なら振動が減衰する安定。極がちょうど円上（|p| = 1）だと減衰も発散もしない持続振動（周辺安定）──発振器はこの状態を利用する（厳密には円上の極が重複しない場合。重極は発散）。1 つでも円外（|p| > 1）に出ると応答が発散する不安定。
共振の鋭さは極の半径で決まる ── 極を円に近づける（|p|→1）ほど、その角度 θ の周波数で鋭い山（高い Q）になる。
角度 θ が周波数を決める ── 極・零点の偏角がそのまま応答の山・谷が出る周波数 ω（=θ）に対応する。零点を円上に置くと完全な谷（ノッチ）。