平均への回帰

1 回目で極端な値だった人を選ぶと、2 回目の平均は全体平均へ寄る ── 相関 r が小さいほど強く回帰します。

2 回の測定の相関 r 0.50

選ぶ群の大きさ（上位/下位） 20 %

1 回目で選ぶ群

選択群の1回目平均

—

選択群の2回目平均

—

全体平均（基準）

—

平均へ寄った割合

—

1回目スコア 2回目スコア選択された群全体平均 μ = 50

左帯=1回目、右帯=2回目。線は同じ人の 2 回の得点を結びます。赤破線（μ）と橙しきい値線をドラッグして操作できます。

同じ人に同じテストを 2 回 受けてもらうと、各回の得点は「実力」と「その日の運（ばらつき）」の和になります。 1 回目でたまたま極端に高かった/低かった人を選ぶと、その「運」の分は次にはもとに戻りやすいため、 2 回目の平均は全体平均（μ=50）の方向へ寄って見えます。これが平均への回帰です。
予測式は 2回目の期待値 = μ + r × (1回目 − μ)。相関 r が 1 なら回帰なし、 r が小さいほど大きく回帰します。これは実力が上がったわけでも下がったわけでもない、選び方による錯覚です。

いま何が起きている？

ここがポイント

極端な群を選ぶと次は平均へ寄る ── 上位を選べば下がり、下位を選べば上がる（実力変化ではない）。
回帰の量は r で決まる ── 2回目期待値 = μ + r×(1回目−μ)。r=1 で回帰ゼロ、r=0 で全員が平均値へ。
「叱ると伸び、褒めると落ちる」の錯覚 ── 極端な失敗/成功のあとは自然に平均へ戻るだけのことが多い。
相関 r と回帰直線（最小二乗）は別物 ── ここでは「選んだ群の平均がどれだけ縮むか」を主役にしている。