歪度と尖度

分布の形をスライダーで変形させ、歪度（非対称さ）と尖度（裾の重さ）という2つの数値が何を測っているのかを掴みます。

歪み（非対称さ） 0.00

裾の重さ 0.00

歪度 γ₁（skewness）

—

超過尖度 γ₂（excess kurtosis）

—

平均 / 中央値 / 最頻値

—

位置関係が歪みの向きを示す

右裾 / 左裾の質量（±2σ外）

—

正規なら片側 ≈ 2.3%

この分布

同じ平均・分散の正規分布（基準）

平均

中央値

最頻値

±2σ より外（裾）

確率密度ヒストグラム（標準化済み・横軸は σ 単位、灰色は基準の正規分布）

歪度 γ₁ = E[(X−μ)³] / σ³
超過尖度 γ₂ = E[(X−μ)⁴] / σ⁴ − 3

平均 μ・標準偏差 σ で標準化した 3乗・4乗の平均。3乗は符号を残すので非対称さ、4乗は遠い値を強く拡大するので裾の重さを測ります。正規分布では γ₁=0, γ₂=0。

平均と分散は分布の「位置」と「広がり」しか語りません。同じ平均・同じ分散でも、形は右や左に偏ったり、裾が重く外れ値が出やすかったりします。それを1つの数値で表すのが 歪度（3次の標準化モーメント）と 尖度（4次の標準化モーメント）です。
2本のスライダーで分布を連続変形させ、ヒストグラムの形・γ₁ と γ₂ の数値・平均/中央値/最頻値の並び順がどう連動するかを確かめましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

歪度 γ₁ は標準化した値の3乗の平均。符号が残るので、長い裾がある側の方向（正＝右裾、負＝左裾）と強さを表す。
歪むと代表値が最頻値 → 中央値 → 平均の順に裾の方向へ並ぶ（平均がいちばん裾に引っ張られる）。
尖度 γ₂ は4乗の平均で、中心の高さより主に裾の重さを測る。正＝裾が重く外れ値が出やすい、負＝裾が軽い。基準は正規分布の0。
歪度も尖度も無次元（単位なし）。σ で割って標準化するので、スケールを変えても値は不変。