減衰振動の3パターン
減衰比 ζ を変えると 過減衰・臨界減衰・不足減衰 が切り替わる様子を、時間波形・相平面・固有値で同時に見ます。
0.25
1.60
パターン
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固有値（特性根）λ
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実部 Re(λ) = 減衰率
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虚部 Im(λ) = 振動数
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相平面（位置 x － 速度 v）
開始点をドラッグして初期条件を変更できます
時間波形 x(t)（3パターンを薄く重ね表示）
太線=現在のζ ／ 薄線=不足・臨界・過の各代表
ばねとおもりに摩擦（抵抗）が加わると、揺れは少しずつ小さくなります。運動方程式は
特性方程式
スライダーで ζ を動かし、固有値・時間波形・相平面が連動して変わるのを確かめましょう。 相平面の開始点（灰色の丸）をドラッグすると初期条件を変えられます。
ẍ + 2ζω₀ẋ + ω₀²x = 0。ここで ω₀ はもし抵抗が無ければ揺れる速さ、
ζ（減衰比） は抵抗の強さを表す無次元の数です。特性方程式
λ² + 2ζω₀λ + ω₀² = 0 を解いた根 λ の様子で、戻り方が3つに分かれます：
ζ<1 不足減衰（揺れながら収束）／ζ=1 臨界減衰（揺れず最速で収束）／
ζ>1 過減衰（揺れずゆっくり収束）。スライダーで ζ を動かし、固有値・時間波形・相平面が連動して変わるのを確かめましょう。 相平面の開始点（灰色の丸）をドラッグすると初期条件を変えられます。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 固有値の実部 = 減衰率 ── Re(λ) が負で大きいほど（＝左にあるほど）速く 0 に戻る。波形の包絡線
e^(Re(λ)·t)がしぼむ速さそのもの。 - 固有値の虚部 = 振動 ── Im(λ)≠0 のとき相平面で原点に巻き込み、波形が振動する（不足減衰）。ζ≥1 では虚部が消えて振動しない。
- ζ=1（臨界減衰）が最速の非振動 ── 振動（往復）せず一番速く静止する（静止状態から放せば行き過ぎ＝オーバーシュートも起こらない）。ドアクローザーや計器の設計目標。
- 過減衰は遅い ── ζ>1 では2つの実根のうち 0 に近い遅い根が支配し、戻りがかえって鈍くなる。