数値解法の精度比較

解析解が分かっている常微分方程式を オイラー法と RK4（4次ルンゲ＝クッタ法）で解き、刻み幅 h を変えて 1 次と 4 次の誤差の違いを体感します。

刻み幅 h 0.50

係数 a（dy/dt = a·y） -1.00

区間の長さ T 10

厳密解 y = e^at オイラー法（1次） RK4（4次）

刻み幅 h

—

ステップ数 N

—

最終誤差オイラー

—

最終誤差 RK4

—

解の軌跡（y vs t と各ステップの点）

誤差の蓄積 |数値解 − 厳密解|（t ごと）

多くの微分方程式は手で解けないので、コンピュータは小さな刻み幅 h ごとに少しずつ前へ進めて近似します。
ここでは厳密解が y = e^{at} と分かっている dy/dt = a·y（初期値 y(0)=1）を題材に、最も単純なオイラー法と高精度なRK4を比べます。
オイラー法の 1 ステップの誤差は h² 程度、RK4 は h⁵ 程度。全体ではオイラー法 ∝ h（1次）、RK4 ∝ h⁴（4次）です。h を半分にすると誤差はオイラーで約 1/2、RK4 で約 1/16 になります。スライダーで h を動かして確かめましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

オイラー法は 1 次精度 ── 全体誤差 ∝ h。h を半分にすると誤差もおよそ半分。
RK4 は 4 次精度 ── 全体誤差 ∝ h⁴。h を半分にすると誤差は約 1/16 に激減する。
同じ刻み幅でも RK4 は 1 ステップで傾きを 4 回評価するため、はるかに厳密解に近い。
誤差は 1 ステップごとに蓄積する。一般に h が大きいほど終端でのズレは広がる（解が増大する系では区間 T が長いほど誤差も増えるが、減衰する系では真解も 0 へ向かうため終端誤差はむしろ縮む）。