固定点の安定性
2次元線形系 ẋ = J x のヤコビ行列のトレース T と行列式 D を動かすと、固有値・固定点の分類・相平面の軌道がどう変わるかを体感します。
-1.00
1.00
プリセット（代表的な分類へジャンプ）
安定スパイラル
不安定スパイラル
中心（周回）
安定ノード
不安定ノード
サドル（鞍点）
判別式 Δ = T² − 4D
—
固有値 λ₁, λ₂
—
分類
—
安定性
—
トレース–行列式 平面（分類マップ）
相平面 x₁–x₂（ベクトル場と軌道）
非線形系の固定点まわりを線形化すると、ヤコビ行列 J による線形系
判別式 Δ = T² − 4D の符号で固有値が実数か複素数か（ノードかスパイラルか）が、 T と D の符号で安定か不安定かが決まります。
スライダーで T・D を動かし、左の分類マップ上の点と、右の相平面の軌道がどう変形するか確かめましょう。
ẋ = J x になります。
その挙動は 2 つの固有値 λ₁, λ₂ だけで決まり、固有値はトレース T = tr(J) と 行列式 D = det(J) から
λ = (T ± √(T²−4D)) / 2 で求まります。判別式 Δ = T² − 4D の符号で固有値が実数か複素数か（ノードかスパイラルか）が、 T と D の符号で安定か不安定かが決まります。
スライダーで T・D を動かし、左の分類マップ上の点と、右の相平面の軌道がどう変形するか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 固有値がすべてを決める ── 実部の符号が安定/不安定、虚部の有無が回転（スパイラル/中心）を決める。
- D < 0 なら必ずサドル ── 固有値が異符号の実数になり、一方向に発散・一方向に収束する鞍点。
- 放物線 Δ = T² − 4D = 0 の上＝スパイラル（複素固有値）、下＝ノード（実固有値）の境界線。
- T = 0, D > 0 は中心 ── 固有値が純虚数で、軌道は閉じた周回になる（境界ケース・摩擦ゼロの振り子など）。