ロジスティック写像と分岐図
増殖率 r を変えると、安定 → 周期倍分岐 → カオスへ。クモの巣図と分岐図を並べて xₙ₊₁ = r·xₙ·(1−xₙ) を体感します。
3.200
0.200
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分岐図（右）をクリック／ドラッグすると、その r を直接ピックできます。
増殖率 r
—
最終的な状態
—
不動点 x* = 1−1/r
—
x の最終値
—
クモの巣図（放物線 y=r·x·(1−x) と y=x の間を反復）
分岐図（横=r、縦=x の長期的なふるまい。赤い縦線が現在の r）
ロジスティック写像
増殖率 r を少しずつ大きくすると、行き着く先が「1 つの値（安定）」→「2 つの値を行き来（2 周期）」→「4 周期」→「8 周期」…と周期倍分岐を繰り返し、ついには周期がなくなってカオスになります。
左のクモの巣図は 1 つの r での反復の軌跡、右の分岐図はあらゆる r での最終的な落ち着き先を一望できます。両者を見比べてみましょう。
xₙ₊₁ = r·xₙ·(1−xₙ) は、生物の個体数（0〜1 に正規化）が世代ごとにどう変化するかを表す、いちばん簡単な「カオスのモデル」です。増殖率 r を少しずつ大きくすると、行き着く先が「1 つの値（安定）」→「2 つの値を行き来（2 周期）」→「4 周期」→「8 周期」…と周期倍分岐を繰り返し、ついには周期がなくなってカオスになります。
左のクモの巣図は 1 つの r での反復の軌跡、右の分岐図はあらゆる r での最終的な落ち着き先を一望できます。両者を見比べてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 同じ式でも r 次第で運命が激変 ── 安定・周期・カオスはすべて 1 本の式
xₙ₊₁ = r·xₙ·(1−xₙ)から生まれる。 - 周期倍分岐 ── r≈3 で 2 周期、r≈3.449 で 4 周期、r≈3.544 で 8 周期…と倍々に枝分かれし、r≈3.5699 でカオス開始。
- クモの巣図と分岐図はつながっている ── クモの巣が 1 点に収束＝分岐図でも 1 本、2 点を往復＝2 本、というように対応する。
- カオスの中の「窓」 ── r≈3.83 付近など、カオスの海の中に突然きれいな 3 周期が現れる帯（周期窓）がある。