相平面の軌道
2変数の線形系 dx/dt = ax + by, dy/dt = cx + dy の流れを相平面に描き、係数で渦・結節・鞍点が切り替わる様子を体感します。
行列 A の成分（dx/dt = a·x + b·y, dy/dt = c·x + d·y）
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キャンバスをクリック／ドラッグすると、その点から始まる軌道を追加できます。
トレース tr = a + d
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行列式 det = ad − bc
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判別式 tr² − 4·det
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分類
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tr–det 平面（不動点の種類マップ）
相平面（x–y）：ベクトル場と軌道
2つの量
線形系の振る舞いは、係数行列 A の トレース tr と 行列式 det の2つの数だけでほぼ決まります。
スライダーで a, b, c, d を動かし、矢印の流れと軌道のかたちがどう切り替わるか確かめましょう。
x, y が互いに影響し合いながら時間変化する系を考えます。各点 (x, y) での「次にどちら向きに動くか」を矢印で描いたものがベクトル場、そこを実際にたどった経路が軌道（トラジェクトリ）です。線形系の振る舞いは、係数行列 A の トレース tr と 行列式 det の2つの数だけでほぼ決まります。
det < 0 なら鞍点、tr² < 4·det なら回転（渦心・渦状）、それ以外は結節点。det > 0 のとき、安定／不安定は tr の符号で決まります（鞍点は tr によらず不安定）。スライダーで a, b, c, d を動かし、矢印の流れと軌道のかたちがどう切り替わるか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 分類は tr と det だけで決まる ── 個々の a,b,c,d ではなく、その組み合わせ（固有値）が形を支配する。
- det < 0 なら鞍点 ── 一方向へ引き寄せ、別方向へ押し出す。安定にはならない。
- tr² − 4·det < 0 で回転 ── 固有値が複素数になり、軌道はぐるぐる回る（渦心または渦状）。
- 安定・不安定は tr の符号（det > 0 のとき） ── det > 0 なら tr < 0 で原点へ収束、tr > 0 で発散、tr = 0 の渦は閉じた周回。det < 0 の鞍点は tr によらず不安定。